第一章 第6课时 1.5 三角函数的应用-2020-2021学年九年级下册课前课中数学【优课堂给力A+】北师大版

第一章　直角三角形的边角关系 第６课时　１．５三角函数的应用 　 　　　　 　　　　　 　　　　　 １．利用锐角三角函数解应用问题的一般步骤: (１)根据题意画出图形,根据图形找到已知和未知, 以及已知与未知之间的关系; (２)将实际问题转化为解直角三角形的问题(如果 没有直角三角形,需要作辅助线构造直角三角形); (３)根据直角三角形各元素之间的关系,求出问题 的解． ２．坡度问题:坡面的　垂直高度　与　水平宽度　的 比叫做坡度(或坡比)．坡比等于坡角的正切． ３．方向角问题:方向角是从　正北或正南　方向到目 标方向所形成的小于九十度的角． 考点一　坡度问题 例１为了身体健康,越来越多的人喜欢上了步行 健身,为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如 图１所示的坡路进行改造．如图２所示,改造前的斜坡 AB＝２６０m,坡度为１∶ ３;将斜坡AB 的高度AE 降 低AC＝３０m后,斜坡AB 改造为斜坡CD,其坡度为 １∶４．求斜坡CD 的长．(结果保留根号) 图１ 　　 图２ 【思路点拨】根据题意和锐角三角函数可以求得 AE 的长,进而得到CE 的长,再根据锐角三角函数可 以得到 ED 的长,最后用 勾 股 定 理,即 可 求 得 CD 的长． 解:在Rt△ABE 中, ∵tan∠ABE＝１∶ ３,∴ ∠ABE＝３０°, ∵AB＝２６０m,∴AE＝１２AB＝１３０m , ∵AC＝３０m,∴CE＝１３０－３０＝１００(m), 在Rt△CDE 中,∵tanD＝１∶４,∴sinD＝ １７１７ , ∴CECD ＝ １７ １７ ,∴CD＝１００ １７ m, 即斜坡CD 的长是１００ １７ m． 　 　　　　 　　　　　 　　　　　１．如图,在山坡上种树,坡度i＝１∶２,AB＝５m,则相 邻两树的水平距离AC为 (C ) A􀆰５m B􀆰 ５m C􀆰２５m D􀆰１０m ２．水务部门为加强防汛工作,决定对马边河上某电站 大坝进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD,如 图所示,已知迎水面AB 的长为２０m,∠B＝６０°,背 水面DC的长度为２０３m,加固后大坝的横断面为 梯形ABED．若CE 的长为５m． (１)已知需加固的大坝长为１００m,则需要填方多少 立方米? (２)求新大坝背水面 DE 的坡度．(计算结果保留 根号) 　　 解答图 解:(１)分别过点A,D 作AF ⊥BC,DG⊥BC,垂足 分别为F,G,如图所示, 在Rt△ABF 中,AB＝２０,∠B＝６０°, sin∠B＝AFAB ,∴AF＝２０× ３２ ＝１０３ (m), ∴DG＝１０３ m, ∴S△DCE ＝１２×CE 􀅰DG＝１２×５×１０３＝２５３ (m), 需要填方:１００×２５３＝２５００３(m３); (２)在直角三角形DGC中,DC＝２０３ m, ∴GC＝ CD２－DG２ ＝ (２０３) ２ －(１０３) ２ ＝３０(m), ∴GE＝GC＋CE＝３５m, 坡度i＝DGGE ＝ １０３ ３５ ＝ ２３ ７ ． 即新大坝背水面DE 的坡度为２３７ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１１􀅰 优课堂　 A＋􀅰九年级数学(下) 考点二　方向角问题 例２如图,射线 MN 表示一艘轮船的航行路线, 从M 到N 的走向为南偏东３０°,在M 的南偏东６０°方 向上有一点A,A 处到M 处的距离为２００海里． (１)求点A 到航线MN 的距离; (２)在航线 MN 上有一点B,且 ∠MAB＝２３°,若 轮船的速度为５０海里/时,求轮船从 M 处到B 处所 用时间为多少小时．(参考数据:tan２３°≈０．４２４,tan３７° ≈０．７５４,３≈１．７３２) 　　 解答图 【思路点拨】(１)如图,过点A 作AH ⊥MN 于点 H,利用三角函数求出AH 即可解决问题;(２)先求出 BM,再根据时间,路程,速度之间的关系求解即可． 解:(１)如图,过点A 作AH ⊥MN 于点H, ∵ ∠QMB＝３０°,∠QMA＝６０°, ∴ ∠NMA＝ ∠QMA－ ∠QMB＝３０°, 在直 角 △AMH 中,∠AHM ＝９０°,∠AMH ＝ ３０°,AM＝２００海里, ∴AH ＝１