第一章 第5课时 1.4 解直角三角形-2020-2021学年九年级下册课前课中数学【优课堂给力A+】北师大版

第一章　直角三角形的边角关系 第５课时　１．４解直角三角形 　 　　　　 　　　　　 　　　　　 １．解直角三角形就是由直角三角形的已知元素求出 所有未知元素． ２．解直角三角形可能用上以下边角关系: 在Rt△ABC中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C所对的边 分别为a,b,c． (１)边的关系:　a２ ＋b２ ＝c２　(勾股定理); (２)角的关系:∠A＋ ∠B＝　９０°　; (３)边角关系:sinA＝cosB＝　ac 　 ,cosA＝sinB＝ 　bc　 ,tanA＝　ab　 ,tanB＝　ba　． 考点一　解直角三角形 例１根据下列条件解直角三角形: (１)在Rt△ABC中,∠C＝９０°,a＝５,c＝５２; (２)在Rt△ABC中,∠C＝９０°,c＝４３,∠A＝６０°; (３)在Rt△ABC中,∠C＝９０°,a＋c＝１２,∠B＝６０°． 【思路点拨】(１)根据勾股定理可以求得b的值,然 后根据a,b,c的值可以得出各角的度数．(２)根据 ∠A 和∠C的值可以求得 ∠B 的值,从而可以求得a,b的 值．(３)先利用互余计算 ∠A 的度数,再利用 ∠A 的正 弦得到a＝１２c ,接着利用a＋c＝１２可计算出c＝８,从 而得到a＝４,然后根据勾股定理计算出b的值． 解:(１)∵在Rt△ABC中,∠C＝９０°,a＝５,c＝５２, ∴b＝ c２ －a２ ＝ (５２) ２ －５２ ＝ ５０－２５ ＝ ２５＝５, ∴a＝b, ∴ ∠A＝ ∠B＝４５°, 即b＝５,∠A＝４５°,∠B＝４５°; (２)∵在Rt△ABC中,∠C＝９０°,c＝４３,∠A＝６０°, ∴ ∠B＝ ∠C－ ∠A＝９０°－６０°＝３０°, ∴c＝２b, ∴b＝２３, ∴a＝ c２ －b２ ＝ (４３) ２ －(２３) ２ ＝ ４８－１２ ＝ ３６＝６, 即a＝６,b＝２３,∠B＝３０°; (３)∠A＝９０°－ ∠B＝９０°－６０°＝３０°, ∵sinA＝ac ,∴a＝c􀅰sin３０°＝１２c , ∵a＋c＝１２,∴１２c＋c＝１２ , ∴c＝８,∴a＝１２c＝４ , ∴b＝ c２ －a２ ＝ ８２ －４２ ＝４３． 即a＝４,b＝４３,c＝８,∠A＝３０°． 　 　　　　 　　　　　 　　　　　１．如图,△ABC 中,AB＝AC,BC＝１０,∠B＝３６°,D 为BC 的中点,则AD 的长是 (C ) A􀆰５sin３６° B􀆰５cos３６° C􀆰５tan３６° D􀆰１０tan３６° ２．在△ABC 中,AC＝１,BC＝２,AB＝ ５,则sinB 的 值是 (B ) A􀆰２５５ B􀆰 ５ ５ C􀆰２ D􀆰 １ ２ ３．在△ABC中,∠ACB＝９０°,下列结论正确的是 (D ) A􀆰AC＝BC􀅰tanA B􀆰AB＝AC􀅰cosA C􀆰AC＝AB􀅰sinA D􀆰AC＝BC􀅰tanB ４．在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,根据下列条件解直角三 角形: (１)∠A＝３０°,BC＝２; 解:∵ ∠C＝９０°,∠A＝３０°, ∴ ∠B＝６０°, ∵BC＝２,tanA＝tan３０°＝ ３３ , ∴AC＝２３, ∵ ∠A＝３０°,BC＝２, ∴AB＝４; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１１􀅰 优课堂　 A＋􀅰九年级数学(下) (２)AB＝１０,AC＝５; 解:∵AB＝１０,AC＝５, ∴BC＝ AB２ －AC２ ＝５３, ∵AB＝２AC,∴sinB＝１２ , ∴ ∠B＝３０°,∴ ∠A＝６０°; (３)c＝ ６－ ２,a＝ ３－１． 解:∵sinA＝ac ＝ ３－１ ６－ ２ ＝ ２２ , ∴ ∠A＝４５°, ∴ ∠B＝９０°－ ∠A＝９０°－４５°＝４５°, ∴b＝a＝ ３－１． 考点二　简单应用 例２如图,在△ABC 中,∠B＝９０°,cosA＝５７ ,D 是AB 上的一点,连接 DC,若 ∠BDC ＝６０°,BD ＝ ２３．试求AC的长． 【思路点拨】根据cosA 的值,可得出AB∶AC 的 值,进而设AB＝５x,AC＝７x,由勾股定理可得出BC 的值,在Rt△DBC中求出BC 即可得出x 的值,代入 可得出AC的长度．