第三章 第12课时 弦切角定理、圆幂定理-2020-2021学年九年级下册课前课中数学【优课堂给力A+】北师大版

第三章　圆 第１２课时　∗弦切角定理、圆幂定理 　 　　　　 　　　　　 　　　　　 １．本节为补充内容,供选用． ２．弦切角 (１)顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的 角叫做弦切角． (２)弦切角定理:弦切角等于它所夹弧对应的圆 周角． ３．圆幂定理 (１)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的 两条线段长的积相等． (２)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项． 考点一　弦切角 例１(定理的证明)如图所示,PA 是☉O 的切线, 切点为A,∠PAB 是切线AP 与弦AB 的夹角,∠C 是AB︵所对的圆周角． (１)当AC 是直径时,∠C 与 ∠BAP 的大小关系 如何? (２)当AC 不是直径时,(１)题的关系还存在吗? 试说明你的理由． 　　 解答图 【思路点拨】(１)根据切线的性质,得出 ∠CAB＋ ∠BAP＝９０°,再利用直径得出 ∠ACB＋ ∠CAB＝９０°, 证明即可;(２)连接AO 并延长,交圆于点E,连接BE, 根据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角,可 以 得 到 ∠E ＋ ∠EAB＝９０°;再根据AP 是切线,可以得到 ∠EAB＋ ∠BAP＝９０°,所以 ∠E＝ ∠BAP,最后根据等弧所对 的圆周角相等就可以得到所要的结论． 解:(１)∠C＝ ∠BAP,理由如下: ∵PA 是☉O 的切线,切点为A, ∴ ∠CAP＝９０°,∴ ∠CAB＋ ∠BAP＝９０°, ∵AC是直径,∴ ∠ACB＋ ∠CAB＝９０°, ∴ ∠C＝ ∠BAP; (２)仍然成立．如解答图,作直径AE,连接EB, ∵AE 是☉O 的直径, ∴ ∠EAB＋ ∠E＝ ∠EBA＝９０°, 又∵AP 是☉O 的切线, ∴ ∠EAB＋ ∠BAP＝９０°,∴ ∠BAP＝ ∠E, ∵ ∠C＝ ∠E,∴ ∠C＝ ∠BAP． 例２已知:如图,☉O 是△ABC 的外接圆,且AB ＝AC＝１３,BC＝２４,PA 是☉O 的切线,A 为切点,割 线PBD 过圆心,交☉O 于另一点D,连接CD． (１)求证:PA∥BC; (２)求☉O 的半径及CD 的长． 　　 解答图 【思路点拨】(１)如图,由AB＝AC,可以得到 ∠１ ＝ ∠２,然后利用弦切角定理就可以证得PA 与BC 的 内错角相等,由此得证;(２)本题需构建直角三角形求 解,连接OA,交BC 于点G,由垂径定理知:OA 垂直 平分BC,在Rt△ABG 中,已知AB,BG 的长,根据勾 股定理可求出AG 的长,在 Rt△OBG 中,用圆的半径 表示出OG 的长,然后根据勾股定理,求出圆的半径 长,进而可求出OG 的长,在△BCD 中,易证得OG 是 △BCD 的中位线,由此可求出CD 的长． (１)证明:∵PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAB＝ ∠２,又∵AB＝AC, ∴ ∠１＝ ∠２,∴ ∠PAB＝ ∠１,∴PA∥BC; (２)解:连接OA,交BC于点G,则OA⊥PA, 由(１)可知,PA∥BC,∴OA⊥BC, ∴G 为BC 的中点, ∵BC＝２４,∴BG＝１２, 又∵AB＝１３,∴AG＝５． 设☉O 的半径为R,则OG＝OA－AG＝R－５, 在Rt△BOG 中,∵OB２ ＝BG２ ＋OG２, ∴R２ ＝１２２ ＋(R－５)２,∴R＝１６．９,OG＝１１．９, ∵BD 是☉O 的直径,∴DC⊥BC． 又∵OG⊥BC,∴OG∥DC． ∵点O 是BD 的中点,∴DC＝２OG＝２３．８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６１􀅰 优课堂　 A＋􀅰九年级数学(下) 　 　　　　 　　　　　 　　　　　１．如图,AB 是☉O 的直径,DE 为☉O 的切线,切点为 B,点C在☉O 上,若 ∠CBE＝４０°,则 ∠A 的度数为 (B ) A􀆰３０° B􀆰４０° C􀆰５０° D􀆰６０° １题图 　　　　 ２题图 ２．如图,AB 是☉O 的直径,DB,DE 分别切☉O 于点 B,C,若 ∠ACE＝２５°,则 ∠D 的度数是 (A ) A􀆰５０° B􀆰５５° C􀆰６０° D􀆰６５° ３．如图,CD 是☉O 的