上海期中解答题精选50题（基础版）-2021-2022学年高二数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）

上海期中解答题精选50题（基础版） 1．（2021·上海市新场中学高二期中）如图，在棱长为a的正方体中，E､F分别是和的中点. （1）求异面直线和的距离； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可知为异面直线和的公垂线段，即为和的距离； （2）取中点,连接由异面直线成角定义可知即为与成角，计算即可. 【详解】（1） 为异面直线和的公垂线段，,即为和的距离为； （2）取中点,连接， 因为,则即为与成角，在中，可知，，，所以，即面直线与所成角的大小为. 2．用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离. 【答案】 【分析】先求出圆锥底面的半径，再在轴截面中利用解三角形的方法可求倒放的圆锥的最高点到桌面的距离. 【详解】设底面半径为，母线的长为 ，则，且，故. 所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10，如图： 最高点到底面的距离为等边三角形的高，此高为. 【点睛】 本题考查空间中距离的计算，注意把距离放置在可解的三角形中，同时关注旋转体的轴截面，因为它集中了旋转体的几何量，本题属于基础题. 3．（2021·上海市南洋模范中学高二月考）已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线. 【分析】先证明点是平面与平面的公共点，再根据平面平面,即得证. 【详解】因为平面,且与平面交于点， 所以点是平面与平面的公共点， 因为平面平面, 所以直线. 4．（2021·上海市中国中学高二月考）已知圆锥的母线是其底半径的2倍，且高为，求圆锥轴截面面积． 【答案】 【分析】根据圆锥轴截面的性质求解． 【详解】由题意，圆锥轴截面面积为． 5．（2019·宝山·上海交大附中高二月考）如图，是正方形，直线底面，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果. 【详解】（1）连接，交于，连接 四边形为正方形 为中点，又为中点 平面，平面 平面 （2）平面 直线与平面所成角即为 设，则 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行. 6．（2019·同济大学第一附属中学高二期末）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下： 家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭数 20 29 48 50 46 36 19 8 4 3 （1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）； （2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）； （3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01） 【答案】（1）；（2）；（3）平均数4.30人，方差 【分析】（1）根据方差的计算公式可得结果； （2）根据中位数的概念可得结果； （3）根据平均数与标准差的公式计算即可. 【详解】解：（1）由方差的计算公式得： 人口数方差为； （2）263户家庭，则中位数为第户家庭的人口数， ，， 所以中位数为4； （3）平均数： ， 标准差： 【点睛】本题考查平均数，标准差，中位数的计算，是基础题. 7．（2021·上海市第三女子中学高二期末）从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值． 【答案】平均值164cm，中位数164.5cm，． 【分析】根据抽取的10名新生数据计算中位数、平均值，其中身高大于165cm的人数确定身高大于165cm的概率，由样本特征与总体特征的关系即可得200名新生身高的平均值和中位数，身高大于165cm的概率估计值． 【详解】由题意，将数据排序得：155、159、161、162、163、166、167、168、169、170， ∴样本中位数为 cm， 样本平均值为 cm， 其中身高大于165cm共有5名， ∴身高大于165cm的概率为. 综上，由样本特征值可知该中学200名新生身高的平均值 cm、中位数 cm，身高大于165cm的概率估计值. 8．（2021·上海市西南位育中学高二期中）某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（