第十四章 整式的乘法与因式分解 名师检测卷-【名师金考卷】2022-2023学年数学八年级上册(人教版)

— １０６ — — １０７ — — １０８ — １７. 证明:∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高ꎬ∴ ＡＤ⊥ＢＣ. ∴ ∠ＡＤＣ ＝∠ＢＤＦ ＝ ９０°. ∵ ＢＦ ＝ ＡＣꎬＦＤ ＝ ＣＤꎬ∴ Ｒｔ△ＢＤＦ≌Ｒｔ△ＡＤＣ ＨＬ( ). ∴ ∠Ｃ ＝∠ＢＦＤ. ∵ ∠ＤＢＦ ＋∠ＢＦＤ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＤＢＦ ＋∠Ｃ ＝ ９０°. ∵ ∠ＤＢＦ ＋∠Ｃ ＋∠ＢＥＣ ＝ １８０°ꎬ∴ ∠ＢＥＣ ＝ ９０°. 即 ＢＥ⊥ＡＣ. １８. (１)解:如图ꎬ点 Ｄ 和 ＥＦ 为所求. (２)证明:∵ ＰＡ ＝ ＰＤꎬ∴ ∠ＰＤＡ ＝∠Ａ. ∵ ＥＦ 垂直平分 ＢＤꎬ∴ ＥＢ ＝ ＥＤ. ∴ ∠Ｂ ＝∠ＥＤＢ. ∵ ∠Ｃ ＝ ９０°. ∴ ∠Ｂ ＋∠Ａ ＝ ９０°. ∴ ∠ＥＤＢ ＋∠ＰＤＡ ＝ ９０°. ∴ ∠ＰＤＥ ＝ ９０°. ∴ ＰＤ⊥ＥＤ. １９. 证明:(１)∵ △ＡＢＣ 是等边三角形ꎬ ∴ ＡＢ ＝ ＡＣꎬ∠ＣＡＢ ＝∠Ｃ ＝ ６０°. ∵ 点 Ｅ 是边 ＡＣ 的中点ꎬ∴ ＡＣ ＝ ２ＡＥ. ∵ ＡＢ ＝ ２ＡＤꎬ∴ ＡＥ ＝ ＡＤ. ∴ ∠ＡＥＤ ＝ ∠Ｄ ＝ ３０°. ∴ ∠ＣＥＦ ＝∠ＡＥＤ ＝ ３０°. ∴ ∠ＣＦＥ ＝ １８０° －∠Ｃ －∠ＣＥＦ ＝ ９０°. ∴ ＤＦ⊥ＢＣ. (２)如图ꎬ过点 Ａ 作 ＡＧ⊥ＤＥ 于点 Ｇ. ∵ ＡＥ ＝ ＡＤꎬ∴ ＤＥ ＝ ２ＥＧ. 在△ＡＥＧ 和△ＣＥＦ 中ꎬ ∠ＡＧＥ ＝∠ＣＦＥ ＝ ９０°ꎬ ∠ＡＥＧ ＝∠ＣＥＦꎬ ＡＥ ＝ ＣＥꎬ { ∴ △ＡＥＧ≌△ＣＥＦ(ＡＡＳ) . ∴ ＥＧ ＝ ＥＦ. ∴ ＤＥ ＝ ２ＥＦ. ２０. 解:(１)如图ꎬ△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求. (２)如图ꎬ连接 Ａ１Ｃ 交 ＤＥ 于点 Ｐꎬ点 Ｐ 即为所求. (３)如图ꎬ延长 ＡＢ 交 ＤＥ 于点 Ｑꎬ点 Ｑ 即为所求. ２１. (１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是长方形ꎬ∴ ＡＤ ＝ ＢＣꎬ∠Ｄ ＝∠Ｂ ＝∠Ａ ＝∠ＢＣＤ ＝ ９０°ꎬ 由折叠的性质ꎬ得 ＧＣ ＝ ＡＤꎬ∠Ｇ ＝∠Ｄ. ∴ ＧＣ ＝ ＢＣꎬ∠Ｇ ＝∠Ｂꎬ∠ＧＣＥ ＝∠Ａ. ∵ ∠ＧＣＦ ＋∠ＦＣＥ ＝∠ＧＣＥ ＝ ９０°ꎬ∠ＦＣＥ ＋∠ＢＣＥ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＧＣＦ ＝∠ＢＣＥ. 在△ＦＧＣ 和△ＥＢＣ 中ꎬ ∠ＧＣＦ ＝∠ＢＣＥꎬ ＧＣ ＝ ＢＣꎬ ∠Ｇ ＝∠Ｂꎬ { ∴ △ＦＧＣ≌△ＥＢＣ(ＡＳＡ) . (２)由折叠的性质ꎬ得 ＤＦ ＝ ＧＦ. ∵ △ＦＧＣ≌△ＥＢＣꎬ∴ ＧＦ ＝ ＢＥ. ∴ ＤＦ ＝ ＢＥ. 四边形 ＥＣＧＦ 的面积 ＝四边形 ＡＥＦＤ 的面积 ＝ (ＤＦ ＋ ＡＥ) × ＡＤ２ ＝ (ＢＥ ＋ ＡＥ) × ＡＤ ２ ＝ ＡＢ × ＡＤ ２ ＝ ８ × ４ ２ ＝ １６. ２２. 解:(１)∵ △ＡＣＢ 和△ＤＣＥ 均为等腰直角三角形ꎬ ∴ ＣＡ ＝ ＣＢꎬＣＤ ＝ ＣＥ. ∵ ∠ＡＣＢ ＝∠ＤＣＥꎬ ∠ＡＣＤ ＋∠ＤＣＢ ＝∠ＡＣＢꎬ∠ＢＣＥ ＋∠ＤＣＢ ＝∠ＤＣＥꎬ∴ ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ. 在△ＡＣＤ 和△ＢＣＥ 中ꎬ ＣＡ ＝ ＣＢꎬ ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥꎬ ＣＤ ＝ ＣＥꎬ { ∴ △ＡＣＤ≌△ＢＣＥ(ＳＡＳ). ∴ ∠ＡＤＣ ＝∠ＢＥＣꎬＡＤ ＝ ＢＥ. ∵ △ＤＣＥ 为等腰三角形ꎬ∴ ∠ＣＥＤ ＝∠ＣＤＥ ＝ α. ∵ 点 ＡꎬＤꎬＥ 在同一直线上ꎬ∴ ∠ＡＤＣ ＝ １８０° － α. ∴ ∠ＢＥＣ ＝ １８０° － α. ∴ ∠ＡＥＢ ＝∠ＢＥＣ －∠ＣＥＤ ＝ １８０° － α － α ＝ １８０° － ２α. (２)ＡＥ ＝ ＢＥ ＋ ２ＣＭ. 理由:∵ ＣＤ ＝ ＣＥꎬ∠ＣＤＥ ＝ ４５°ꎬ∴ ∠ＣＥＤ ＝ ４５°ꎬ∴ ∠ＤＣＥ ＝ ９０°. ∵ ＣＤ ＝ ＣＥꎬ点 Ｍ 是 ＤＥ 的中点ꎬ∴ ＤＭ ＝ＭＥꎬＣＭ⊥ＤＥ. ∴ ∠ＤＣＭ ＝∠ＣＤＥ ＝ ４５°. ∴ ＣＭ ＝ ＤＭ ＝ＭＥ. ∴ ＡＥ ＝ ＡＤ ＋ ＤＥ ＝ ＢＥ ＋ ２ＣＭ. ２３. 解:(１)∵ ＢＰ 平分∠ＡＢＯꎬ∴ ∠ＡＢＰ ＝ １２ ∠ＡＢＯ. ∵ ＡＰ 平分∠ＦＡＯꎬ∴ ∠ＦＡＰ ＝ １２ ∠ＦＡＯ. ∵ ∠ＦＡＯ ＝∠ＡＢＯ ＋∠ＡＯＢꎬ∠ＦＡＰ ＝∠ＡＢＰ ＋∠Ｐꎬ ∴ ∠Ｐ ＝ １２ ∠ＡＯＢ ＝ ４５°. (２)如图 １ꎬ过点 Ｐ 作 ＰＥ⊥ＡＢ 交 ＢＡ 延长线于点 Ｅꎬ过点 Ｐ 作 ＰＦ⊥ＢＣ 于点 Ｆꎬ连接 ＰＣ. 又∵ ＢＰ 平分∠ＡＢＣꎬ∴ ＰＥ ＝ ＰＦ. ∵ 点 Ｐ 在 ＡＣ 的垂直平分线上ꎬ∴ ＰＡ ＝ ＰＣ. ∴ ∠ＰＡＣ ＝∠ＰＣＡ. 在 Ｒｔ△ＡＰＥ 和 Ｒｔ△ＣＰＦ 中ꎬ ＰＡ ＝ ＰＣꎬＰＥ ＝ ＰＦ.{ ∴ Ｒｔ△ＡＰＥ≌Ｒｔ△ＣＰＦ(ＨＬ) . ∴ ∠ＥＰＡ ＝∠ＦＰＣ