第1章 空间向量与立体几何 章末复习方案（学案）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

数学选择性必修第一册课堂学案 章未复习方案 章末·知识图解 络构建口 [线线平行科业直 圳试数采和救量积运)115 向的定义炊其表示 的面f 的方的 异血白线所成 向 [线出角 向兰运铃的半标表件|间 算两Y而的火角 [线和点亓州 和山山距 章末·考法整合 全维梳理□ 考法一利用空间向量证明线、面的位置关系 【真题2】在直三棱柱ABC-A1B1C中,∠ABC=90°,BC=2 CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为 用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结 CC1,C1B1,C1A1的中点 (1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向 (1)求证:BD⊥平面ABD 向量是共线向量 (2)求证:平面E(F∥平面ABD (2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向 向量垂直 (3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有①证明直 线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找 到一个向量与直线的方向向量是共线向量 虔面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直 线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判 定定理转化为线线垂直问题 (5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量);②转化为线面平行、线线平行问题 (6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为 线面垂直线线垂直问题 【真题1】(2020·天津卷节选)如图,在三 棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面 ABC, AC BC, AC=BC=2, CC1 3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1 上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1D1 的中点求证:C1M⊥B1D 第一章空间向量与立体几何 考法二利用空间向量求解空间角 (2)求图2中平面BCG和平面ACG的夹角的大小 空间角的求解可以通过几何方法得到,但其中要作出所求 的角,对考生的空间想象能力、推理论证能力有较高的要求, 使用空间向量方法可以减少作图,只要建立合理的空间直 角坐标系,把所求的角转化为向量之间的夹角即可.高考试 题中的立体几何解答题往往是分步设问,其中空间位置关 怒2 系证明部分侧重考查几何的方法,空间角求解部分侧重考 查空间向量方法 【真题3】(2020·全国卷Ⅱ)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1 的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为 BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交 AB于E,交AC于F (1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F; (2)设O为△A1B1C的中心,若AO∥平面EBCF,且考法四用空间向量解决探索性问题 AO=AB,求直线BE与平面A1AMN所成角的正弦值. 探索性问题对解题者分析问题、解决问题的能力有较高要 求,在立体几何的解答题中探索性问题是一个重要的考点 【真题5】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD PA⊥PDPA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 (1)求证:PD⊥平面PAB (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存 在,求4D的值若不存在,说明理由 考法三用空间向量解决折叠问题 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折起使之成为空 间图形的一类问题,这类问题对解题者的空间想象能力有 较高要求,折叠问题是高考中的一个重要命题点 【真题4】(2019·全国卷Ⅲ改编)图1是由矩形ADEB,Rt△A 和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF 重合,连接DG,如图2 (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平 面BCGE; 提示完成P1第一章综合测评2.A解因为cosa,b)=b,且平面a和平面的夹角的 AONP为平行四边形,故PM= 分故选分2,所以平面a和平面的夹角的大小3 3“,E(23,1,),由(1)知平面 A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM 垂足为Q,则NQ⊥平面ABC.设 4√11 22×√183√11 故所 Q(a,0,0), 求正弦值为4① 则NQ= 故选A项 4解杬如图,建立空间直角坐标系.由 已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4 4.0,c(0,3-(0.4. 故BE=(2 BIE 3),B1C=(-4,0,3),所以cos(A1B, BC)=A1B·BC9 AB|BC|25,故异面直 3·又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的一个法向量,故 线A1B与B1C所成角的余弦值为 nBE10.故直线BE与平面AAMN 所成角的正弦值为 真题4解析(1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD