专题17 对数-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题17 对数 题型一 对数的运算 1．正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，设1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b）＝k，则a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b＝6k﹣3， 所以. 故选：A． 2．已知，那么用表示是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,所以答案选. 3．若，则____________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 即， 所以，即， 所以. 故答案为： 4．已知，求的值． 【答案】 【解析】， ∵，∴，． 故答案为： 题型二 对数的运算性质的应用 1．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是______． 【答案】． 【解析】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2， 可得x+3y＝1． ＝＝＝≥＝． 当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号． 的最小值是． 故答案为：． 2．计算下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1． 【解析】（1）； （2）； （3） ； （4） ． 3．设，是方程x2-3x+1=0的两根，求的值. 【答案】 【解析】由题意，得 即，于是有 ， 故，即 于是. 故的值. 题型三 运用换底公式化简计算 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 故选：D 2．已知函数，定义使为整数的叫做企盼数，则在区间内的企盼数的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，， ，则， 令，则， ，所以的取值集合为，共个数， 所以，的取值集合为，共个数， 因此，在区间内的企盼数的个数是. 故选：B. 3．若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对数的换底公式得， ， 故选：C． 4．已知，则____________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为： 题型四 运用换底公式证明恒等式 1．若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 3．下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A， ，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 故选ABC． 4．用计算器计算：．根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 【答案】，，；证明见解析． 【解析】，， 结论， 证明：设且， 由换底公式得：. 5．设，且，求证： 【答案】证明见解析. 【解析】设，，则，，. 因为，所以， 即. 所以，即. 6．已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】令， 则，，， 所以. 题型五 指数式与对数式的互化 1．已知，则、、的大小排序为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 为正实数，且， 可得： 即 因为函数 单调递增，∴. 故选A. 2．物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】解：因为音量大小与强度为的声波的关系为， 所以， 所以，， 所以， 故选：C. 3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 4．若，且，则下列等式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解