专题14 函数的应用（一）-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题14 函数的应用（一） 题型一 一次函数模型的实际应用题 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ） A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 【答案】B 【解析】依题意，解得. 故选：B 2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号) ①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点. 【答案】④. 【解析】对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误； 对②，甲、乙的路程取值范围相同，故②错误； 对③，速度 ，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误； 对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确； 故答案为：④. 题型二 二次函数模型的实际应用题 1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年． 【答案】7 【解析】设二次函数y=a(x-6)2+11， 又过点(4，7)， 所以a=-1，即y=-(x-6)2+11. 解y≥0，得6-≤x≤6+， 所以有营运利润的时间为2. 又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年. 故答案为：7 2．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米. 则矩形的面积关于的函数解析式为_________. 【答案】 【解析】解：在直角中， 所以， ∴， ∴， 所以矩形的面积关于的函数解析式为. 3．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝ (t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 【解析】设日销售金额为元，则 ， 即， 当时，，时有最大值900； 当时，是减函数，时有最大值1125. 综上所述，时有最大值1125， 所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元. 4．某水厂的蓄水池中有吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时吨的速度向池中注水，若小时内向居民供水总量为，则每天何时蓄水池中的存水量最少. 【答案】时，蓄水池中的存水量最少. 【解析】设小时后，蓄水池中的存水量为吨，则，其中， 令，则， 所以，当时，取最小值，此时，（时）. 因此，当时，蓄水池中的存水量最少. 5．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)． （1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 【答案】（1）f(x)＝；（2）475件． 【解析】（1）当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件． 所以, 即f(x)＝. （2）当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5， 所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max＝10.781 25(万元)． 当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大． 题型三 幂函数模型的实际应用题 1．若成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1）， 由图象可知不等式的解集为. 2．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数. （1）（ⅰ）试解释与的实际意义； （ⅱ）写出函数应该满足的条件和具有的性质； （2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由. 【答案】（1）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】解：（1）（ⅰ），表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1. ，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的. （ⅱ）函数在上单调递减，并且有. （2）设