专题13 幂函数-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题13 幂函数 题型一 幂函数的定义域和值域 1．函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】函数解析式为，则，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 2．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R；偶函数；图象见解析；在区间(∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数． 【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增. 3．已知幂函数. (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m＋1中必定有一个为偶数,可知m2＋m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2，)和m∈N*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a的范围即可. 试题解析: （1）m为正整数，则：m2+m＝m（m+1）为偶数，令m2+m＝2k，则： ，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增． （2）由题意可得：， 求解关于正整数m的方程组可得：m＝1（m＝﹣2舍去）， 则：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得： 2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是：． 4．已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0，+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k. （1）求实数m的值； （2）当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围. 【答案】（1）m=0；（2）[0，1]. 【解析】（1）依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2. 当m=2时，f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去. ∴m=0. （2）由（1）可知f(x)=x2，当x∈(1，2]时，函数f(x)和g(x)均单调递增. ∴集合A=(1，4]，B=(2-k，4-k]. ∵A∪B=A，∴B⊆A.∴ ∴0≤k≤1. ∴实数k的取值范围是[0，1]. 5．已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 题型二 幂函数的图像问题 1．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数， 故选：A． 2．下列结论正确的是（ ） A．幂函数图象一定过原点 B．当时，幂函数是减函数 C．当时，幂函数是增函数 D．函数既是二次函数，也是幂函数 【答案】D 【解析】由题意，函数的图象不过原点，故A不正确； 函数在及上是减函数，故B不正确； 函数在上是减函数，在上是增函数，故C不正确； 根据幂函数的定义，可得函数是二次函数，也是幂函数，所以D正确. 故选：D. 3．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．0< B．m是偶数，n是奇数 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且 【答案】ABC 【解析】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确； 图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确； 则C也正确，D错误． 故选：ABC． 4．函数恒过定点______． 【答案】 【解析】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 5．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集． 【答案】作图见解析；． 【解析】由题意，函数与，画出图象，如图所示： 根据，解得． 利用图象知不等式的解集． 6．已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围． 【答案】 【解析】∵的图象过点，∴，∴，又，∴. 即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数， ∴由得，解得. 题型三 幂函数的单调性及应用 1．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），若0<a<b<1，则下列各式正确的是 A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a） C．f（a）<f（b） D． 【答案】A 【解析】设幂函数y=f（x）=xα， ∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2， 解得，∴f（x）=，∵0<a<