上海期中解答题精选50题（压轴版）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

上海期中解答题精选50题（压轴版） 1．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F． （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标； （3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2； （2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形， ∵PF⊥PE， ∴S△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k2﹣k+1， ∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PFE=S△GEF， ∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE=•k﹣（k2﹣k+1）﹣k=k2﹣1 ∵S△OEF=2S△PEF， ∴k2﹣1=2（k2﹣k+1）， 解得k=6或k=2， ∵k=2时，E、F重合， ∴k=6， ∴E点坐标为：（3，2）； （3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF， ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， ∵△FHM∽△MBE， ∴， ∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k， ∴，BM=， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2， ∴（1﹣）2=（）2+（）2， 解得k=，此时E点坐标为（，2）， ②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，， ∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1， ∴，BM=2， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2， ∴（k﹣2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意， ∴k=． 此时E点坐标为（，2）， ∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答． 2．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°． （1）当DF//AB时（图1），联结EF，求DE：DF值； （2）当点F在线段BC上时（图2），设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长． 【详解】解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°， ∴AB＝6， ∵，， ∴， ∴， ∴在Rt△DEF中，； （2）过点E作EH⊥AC于点，则， ∴， 根据∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD， ∴， ∴， ∴； （3）∵，CD=3， ∴CE＞CD， ∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能： ①当DC=DE时，点F在边BC上， 过点D作DG⊥AE于点G（如图①）， 可得：AE＝2AG＝3，即点E在AB中点， ∴此时F与C重合， ∴BF=6； ②当ED=EC时，点F在BC的延长线上， 过点E作EM⊥CD于点M（如图②）， 可证：△DFC∽△DEM， 可证： 综上所述，为或． 3．（2020·上海市青浦区第一中学）在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为． （1）当时，求线段的长； （2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当与相似时，求线段的长． 【详解】解:(1)过点C作,交AD的延长线于点E, ∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC. ∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°， ∵AD//BC， ∴∠BAE+∠ABC=180°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠BAE=90°， ∴四边形ABCE为矩形， ∴CE=AB，AE=BC, ∠AEC=90° 又∵AB=3， ∴CE=AB=3 ∵AD=AP=2 ∴∠APD=∠ADP=45° ∵，∠AEC=90° ∴∠CDE=∠ECD=45° ∴DE=CE=3 ∴BC=AD+DE=4+6=5,PB=AB-AP=1 ∴； (2)在中,由, 根据勾股定理得:, ∵∠ADP+∠BEDC=90°，∠DCE+∠BDC=90°， ∴.∠ADP=∠DCE