上海期中解答题精选50题（提升版）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

上海期中解答题精选50题（提升版） 1．（2021·上海静安区·九年级期中）已知：如图，在梯形中，，，是的中点，的延长线交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证四边形是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，．再由是中点，即AE=CE．即可以利用“AAS”证明，得出，即证明四边形是平行四边形． （2）由和是中点，即可推出．又因为，即证明，即可推出．即四边形是菱形． 【详解】（1）∵， ∴，． 又∵是中点， ∴AE=CE， ∴在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 2．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，点、分别在的边、的延长线上，且，，为的中点． （1）设，，试用的形式表示；（、为实数） （2）作出在、上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】（1），；（2）作图见详解 ． 【分析】（1）由DE∥BC得到△EDA∽△CBA，由AE=AC，得到ED=BC，所以，根据向量加减法法则即可得到，； （2）作DF∥AB交BC于G，由平行线分线段成比例性质可知，在，上的分向量 【详解】（1）∵F为AC的中点，，∴， ∴ ∵DE∥BC ∴△EDA∽△CBA ∵AE=AC，ED=BC （2）作图如下：作GF∥AB交BC于G， ∵F为AC中点， ∴ G为BC中点，FG=AB， ∴在上的分向量， 在上的分向量 【点睛】本题考查平面向量与作图问题，掌握向量的运算的法则，会用矢量的加法进行求解，掌握向量作图的方法是解题关键 3．（2020·上海交大附中九年级期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论； 2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出，再证△AFC∽△AGB，得，证出CG=CF，则，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC2=AD•AB； （2）证明：∵△ACD∽△ABC， ∴∠ADF=∠ACG， ∵， ∴△ADF∽△ACG， ∴∠DAF=∠CAF， 即∠BAG=∠CAG， 又∵∠ACD=∠B， ∴△AFC∽△AGB， ， ∵∠CFG=∠CAG+∠ACD，∠CGF=∠BAG+∠B， ∴∠CFG=∠CGF， ∴CG=CF， 由（1）得： ∴CG2=DF•BG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，已知，和相交于点，，，是上一点，． （1）求的长； （2）如果的面积为4，求的面积． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】（1）由推出，得△ACE∽△BDE，推得，可证△CEF∽△CDB，由性质得∠CEF=∠D，证得EF∥DB，由AC∥EF，推出即可； （2）由（1）得AC∥EF，可证△BEF∽△BAC，由性质得，把S△BEF代入计算即可． 【详解】（1）∵，设三角形BC边上的高为h， ∴， ∴， ∵， ∴∠A=∠EBD,∠ACE=∠EDB， ∴△ACE∽△BDE， ∴， ∴， ∴， ∵∠ECF=∠DCB， ∴△CEF∽△CDB， ∴∠CEF=∠D， ∴EF∥DB， ∴AC∥EF∥DB， ∴， ∵AC=6， ∴； （2）由（1）得AC∥EF，AC=6，EF=2.4 ， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵的面积为4， ∴． 【点睛】本题考查面积比，平行线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握同高面积比等于底的比，平行线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会用它们解决问题是关键． 5．（2020·上海民办华二浦东实验学校）如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，设，，请用向量、表示向量． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB，即可证明平行四边形； （2）由DF∥BC，FG∥AB，根据（1）中线段的关系及向量的解法即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，， ∴=， 即：； 故：=． 【点