【新课标人教A版选修1-1】高中全程复习方略配套练习：第三章 导数及其应用（阶段复习课+单元质量评估，2份）

第三章 章末总结/阶段复习课 【备选答案】 A.若f′(x)>0， 则y=f(x)递增；若f′(x)<0， 则y=f(x)递减 B.平均变化率 C.①求f′(x)； ②解方程 f′(x)=0； ③判断两侧符号 D.切线斜率k=f′(x0) E.①求极值；②极值与端点对 应的函数值比较 F.瞬时变化率 B F D A C E 导数的几何意义 【技法点拨】 1.导数几何意义的应用 2.求切线方程时的注意事项 一定要分清是求在点P处的切线方程，还是求过点P的切线方程，即点P是否为切点. 【典例1】已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 【解析】(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上. ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为 f′(x0)＝ ＋1，∴直线l的方程为 y＝ 又∵直线l过点(0,0)， ∴0＝ 整理得， ＝－8， ∴x0＝－2, ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13, ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝ 又∵k＝f′(x0)＝ ＋1， ∴ 解之得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 【互动探究】函数不变，如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－ x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. 【解析】∵切线与直线y＝- ＋3垂直，∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝ ＋1＝4， ∴x0＝±1， ∴ 或 即切点为(1，－14)或(－1，－18). 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 【想一想】(1)求曲线的切线方程的关键点是什么？ (2)本例(2)中方法二的技巧关键点是什么？ 提示：(1)关键是确定切线的斜率与一个具体的点，利用点斜式求直线方程. (2)方法二的巧妙之处在于设出切点，结合原点利用斜率公式表示出切线斜率，又结合导数的几何意义，根据斜率相等求出切点. 利用导数研究函数的单调区间 【技法点拨】 利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域； (2)求f′(x); (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)不等式的解集与定义域取交集； (5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间. 【典例2】已知函数f(x)＝ x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0，试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间. 【解析】解题流程: 求导解f′(x)=0 依题意，得f′(x)=x2+2ax+b. 由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1, 从而f′(x)= x3+ax2+(2a-1)x, 则f′(x)=x2+2ax+(2a-1) 令f′(x)=0，得x=-1或x=1-2a ⑤当a>1时，1-2a<-1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 由此得，函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1，+∞),单调减区间为(1-2a,-1). ②当a=1时，1-2a==-1，此时有f′(x)≥0恒成立，且仅在x=-1处f′(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为R. ③当a<1时，1-2a>-1，同理可得，函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a，+∞)，单调减区间为(-1,1-2a) x (-∞，1-2a) (1-2a，-1) (-1，+ ∞) f′(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 分类讨论 两根大小 综上，当a>1时，函数f(x)的单 调增区间为(-∞，1-2a)和(-1， +∞)，单调减区间(1-2a,-1) 当a=1时，函数f(x)的单调增区 间为R;当a<1时，函数f(x)的单 调增区间为(-∞，-1)和(1-2a， +∞)，单调减区间为(-1,1-2a). 结论 【思考】(1)解答本题的注意点是什么？ (2)解答本题时分类讨论的标准是什么？ 提示：(1)在运用导数求函数单调区间时，一定要注意函数定义域，另外当函数的单调区间不唯一的