第一章 3 勾股定理的应用-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

11. 如图,连接AC.因为∠ADC=90°,所以AD2+CD2= AC2.因为AD=40m,CD=30m,所以AC2=402+302= 2500(m2).所以AC=50m.因为AB=130m,BC=120m,所 以AC2+BC2=2500+1202=16900(m2),AB2=1302= 16900(m2).所以AC2+BC2=AB2.所以△ABC 为直角三角 形,且∠ACB=90°.所以该空地的面积为S△ABC-S△ADC= 1 2BC ·AC-12AD ·CD=12×120×50- 1 2×40×30= 2400(m2).所以种植这片草皮需要100×2400=240000(元). (第11题) 点拨:不规则图形的面积往往通过添设辅助线转化为规则图形 面积的代数和(或差)求解.解答本题的关键是通过直角三角形 的判别条件来说明△ABC为直角三角形. [拓展拔尖] 12. (1) 对应的a,b,c的值能为直角三角形三边的长.理由: 当m=2,n=1时,a=5,b=4,c=3.因为32+42=52,即c2+ b2=a2,所以对应的a,b,c的值能为直角三角形三边的长. (2) m2+n2;2mn;m2-n2.(3) 以a,b,c为边长的三角形一 定为直角三角形.理由:因为a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+ n4,b2+c2=(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4-2m2n2+ n4=m4+2m2n2+n4,所以a2=b2+c2.所以以a,b,c为边长 的三角形一定为直角三角形. 3　勾股定理的应用 [基础进阶] 1. C 2. C 3. 45 4. 不能 5. 5cm 6. 符合要求.理由:因为AB2+AD2=92+122=225(mm2), BD2=152=225mm2,所以AB2+AD2=BD2.所以∠A= 90°.因为BD2+BC2=152+82=289(mm2),CD2=172= 289mm2,所以BD2+BC2=CD2.所以∠DBC=90°.所以 ∠A 和∠DBC都为直角.所以这个零件符合要求. 7. 过点C作CB⊥AD 于点B.设旗杆的高度为xm,则AC= AD=xm,AB=(x-2)m,BC=8m.在Rt△ABC 中,AB2+ BC2=AC2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.所以旗杆的高 度为17m. [能力攀升] 8. C 解析:在Rt△ACB 中,因为∠ACB=90°,BC=0.7m, AC=2.4m,所以AB2=BC2+AC2=6.25(m2).由题意,得 AB=A'B.所以A'B2=6.25(m2).在Rt△A'BD 中,因为 ∠A'DB=90°,A'D=2m,所以BD2+A'D2=A'B2.所以 BD2=2.25(m2).所以BD=1.5m.所以CD=BC+BD= 2.2m. 9. D 解析:由题意,得BO=16×1.5=24(海里),AO=12× 1.5=18(海里),AB=30海里,则此时 AO2+BO2=AB2,所 以△AOB 是直角三角形,且∠BOA=90°.因为∠AOD=30°, 所以∠DOB=60°.所以2号舰的航行方向是南偏西60°. 10. 2 解析:设BD=xm,则BC=AB=BD+AD=(x+ 0.5)m.在Rt△CDB 中,由勾股定理,得CD2+BD2=BC2,即 1.52+x2=(x+0.5)2,解得x=2.所以水渠的深度BD 为2m. 11. 25 解析:如图,在Rt△ABC 中,一条直角边BC(即枯木 的高)长20尺,另一条直角边AC 长5×3=15(尺).设葛藤长 为x尺,则x2=202+152,所以x=25.所以葛藤的最短长度 是25尺. (第11题) 点拨:这种立体图形求最短路径问题,可以将立体图形展开,转 化为平面图形问题解决,再根据勾股定理即可求出答案. 12. 由题意知,AD+BD=BC+AC,且AC=20m,BC= 10m.设BD=xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m.因 为在Rt△ACD 中,CD2+AC2=AD2,所以(10+x)2+202= (30-x)2,解得x=5.所以这棵树的高度CD=10+5=15(m). 13. 能放进去.构造一个如图所示的长方体代表木箱,则AB= 40cm,BC=30cm,CE=120cm,连接AC,AE.由图可知, △ABC为直角三角形,所以由勾股定理,得AC2=AB2+ BC2=2500(cm2).同理,△AEC 也是直角三角形,由勾股定 理,得AE2=AC2+CE2=16900(cm2).所以AE=130cm.因 为130>129,所以这根长129cm