第一章 2 一定是直角三角形吗-2021-2022学年八年级上册数学【拔尖特训】北师大版

CE=120cm,所以由勾股定理,得BC2=BE2+CE2=502+ 1202=16900(cm2).所以BC=130cm.因为AB+BC=50+ 130=180(cm),所以最少需要走180cm. (第5题) [能力攀升] 6. C 解析:因为(a+b)2=21,所以a2+2ab+b2=21.因为 大正方形的面积为13,所以a2+b2=13.所以2ab=21-13=8. 所以小正方形的面积为(a-b)2=a2+b2-2ab=13-8=5. 7. A 解析:过点C 作CE⊥AB 于点E.由题意,可知BE= CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5m.在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得CE2=AC2-AE2=52-32= 16(m2).所以CE=4m.所以当灯刚好发光时,该学生离门的 距离为4m. 点拨:根据题意构造出直角三角形,利用勾股定理解答.解题的 关键是结合题意与示意图,找出直角三角形的各边,再求解. 8. 10 解析:由勾股定理,可知AB2=AO2+BO2=202+ 152=625(厘米2).所以AB=25厘米.所以当滑块A 向下滑 到点O 时,滑块B 向右滑动了25-15=10(厘米). 9. 由题意,知 AB=50m,AC=30m,∠ACB=90°.在 Rt△ABC中,由勾股定理,可得BC2=AB2-AC2=502- 302=1600(m2).所以 BC=40m.所以车速为40÷2= 20(m/s)=72(km/h).因为72>70,所以这辆小汽车超速了. 10. 如图①,连接DB,过点D 作DF⊥BC,交BC 的延长线于 点F.易得 DF=EC=b-a.因为S四边形ADCB=S△ACD + S△ABC= 1 2b 2+ 12ab ,且S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= 1 2c 2+12a (b-a),所以12b 2+12ab= 1 2c 2+12a (b-a). 所以a2+b2=c2.如图②,连接BD,过点B 作BF⊥DE,交 DE 的延长线于点F.易得BF=b-a.因为S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE +S△ADE = 1 2ab+ 1 2b 2 + 12ab ,且 S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD +S△BDE= 1 2ab+ 1 2c 2+ 1 2a (b-a),所以 12ab+ 1 2b 2+ 12ab= 1 2ab+ 1 2c 2+ 1 2a (b-a).所以a2+b2=c2. (第10题) [拓展拔尖] 11. 不能通过此桥洞.如图,OA 是桥洞上面半圆的半径,可知 OA=502=25 (dm),EF 的长为桥洞中线GF 右侧的隔离带宽, EF=42=2 (dm),易知OC=EF=2dm.ED 表示车宽,则 CB=ED=18dm,所以OB=OC+CB=2+18=20(dm).在 Rt△OAB 中,由勾股定理,可知AB2=OA2-OB2=252- 202=225(dm2),所以AB=15dm.所以AD=AB+BD= 15+18=33(dm).因为33<35,所以这辆货车不能通过此 桥洞. (第11题) 2　一定是直角三角形吗 [基础进阶] 1. C 2. A 3. 直角 4. ②④ 5. △ABC是直角三角形.理由:因为a+b=4,所以(a+b)2= 16.所以a2+2ab+b2=16.又因为ab=72 ,所以a2+b2= 16-2ab=9=32=c2.所以△ABC是直角三角形. 6. (1) 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得BD2=AB2+AD2= 122+92=225.所以BD=15.(2) 因为BD2+BC2=152+ 202=625=252=CD2,所 以 △BDC 是 直 角 三 角 形,且 ∠CBD=90°.所以S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD= 1 2AB · AD+12BD ·BC=12×12×9+ 1 2×15×20=54+150=204. [能力攀升] 7. B 8. 240 解析:因为三条边上的树苗棵数分别为35,17,31,空 地的三个角上均栽有一棵树苗,且每条边上的树苗间距均为 1m,所以易得三边的长分别为34m,16m,30m.因为302+ 162=1156,342=1156,所以302+162=342.所以该三角形空 地的形状为直角三角形,且两直角边的长分别为16m,30m. 所以这块空地的面积是1 2×16×30=240 (m2). 9. 84 解析:因为BD=12,BC=13,CD=5,所以CD2+ BD2=25+144=169,BC2=169.所以CD2+BD2=BC2.所 以∠BDC=