3.3 垂径定理 课件-2020—2021学年北师大版数学九年级下册

北师版·九年级下册 3 垂径定理 1 新课导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m 探究新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O 连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 C D A B M O 结论 AM = BM C D A B M O 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AM = BM， 判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O CD为⊙O的直径 条件 CD⊥AB AM = BM 结论 CD⊥AB 理由是：连接OA，OB，则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵ OA=OB，AM=BM. ∴ △OAM≌△OBM. ∴ ∠AMO=∠BMO. ∴ CD⊥AB ∵ ⊙O关于直径CD对称， C D A B M O ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， C D A B M O 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （不是直径） 垂径定理的逆定理 C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径， AM = BM， ∴ CD⊥AB， C D A B M O 还有如下正确结论： CD为直径 CD⊥AB于M AM = BM 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E 为 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径. O E D C F O E D C F 解：连接 OC . 设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m . ∵ OE⊥CD ， ∴ 在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2. 解这个方程，得 R = 545. 所以，这段弯路的半径为 545 m. 随堂练习 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） A. CM = DM B. C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD D 2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于 C .若 AB = ，OC = 1，则半径 OB 的长为______. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 勾股定理 1 2 3. 赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 再逛赵州石拱桥 解：如图， OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. AB = 37.4， CD = 7.2 4.如图所示，OC 交 AB 于点 D，AD = DB，AB = 6cm，CD = 1cm，求⊙O 的半径长. 解：设圆的半径为 R，则OB = OC = R， ∵ AD = DB，