九 不等式-2022年高考数学培优讲义

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D. ZXXK. com 您身边的互联网+教辅专家 九、不等式 例:设xy,z∈R,且满足:x2+y2+x2=1,x+2y+3z=√14·则x+y+z=() 例:设a>b>c>0,则2a2 10ac+25c2的最小值是 例:求证对于任意的xy∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)总成立 例:若a是1+2b与1-2b的等比中项,则 2ab 的最大值为( a|+2|b 例:设函数f(x)=ax2+bx+c,a、b、c都是正实数,且f()= (1)若x>0,证明:f(x)121 (2)若正实数x、x2、x3满足x;x2x3=1,证明:f(x1)f(x2)f(x)≥1 例:已知函数f(x)=x2-x+c的定义域为01],x1,x2∈[0,1,≠x2 证明:(1)(x)(A)-列2)(x)-(2 例:有小于1的正数:x,x2,…x,且x+x2+…+x=1 求证: 例:r(-1n1+2+…(-1)+na ,其中a是实数,且n是大于或等于2的正数 (I)如果f(x)当x∈(1]时有意义,求a的取值范围 (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立 例:设ab,c为正实数,且a+b+c=3.求证+b+c≥3 a+√bcb+√cac+√ab2 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D ZXXK. com 您身边的互联网+教辅专家 每每每 客期 服领 月周日 快 取教辅图 分推领 步 享送券 名甄专 取书 校选享 服及 名教超 务 师学低 学科网独家试卷 资源清单 价 私享课程及课件 扫一扫二维码 关注学科网服务号 一键获取所有服务,满足需求更快一步 回复:教学模板 领取35套教学ppt模板 独家授权侵权必究九、不等式 例:设xy,z∈R,且满足:x2+y2+2=1,x+2y+3z=√14 则 x十y+z 解:x2+y2+z2=1→14x2+14y2+142=14① x+2y+3z=√14→(x+2y+3z)2=14② ①②得:13x2+10y2+5z2-4x-121yz-6zx=0 (2x-y)2+(3y-2x)2+(z-3x)2=0→y=2x,3y=2z,z=3x 由x+2y+3z=√14,得x 42√143√14 3√14 →x+y+z 14 14 14 7 解法2:将13x2+10y2+52-4xy-12yz-62x=0 看成关于x的一元二次方程 13x2-2(2y+3z)x+(10y2+5z2-12yz)=0③ 因为x为实数,故判别式△≥0。 9y2-12yz+4z2≤0→(3y-2)2≤0→3y-2z=0 这时③有两个相等的实根:x 2y+3z 所以x 2z y 代人x+2y+3z=√14得 √142√143√14 3√14 X →x+y+z 14 14 14 7 解法3:利用柯西不等式 (x2+y2+z2)2+22+32)≥(x+2y+3z)2 因为x2+y2+z2=1,所以(x+2y+3z)2≤14 即x+2y+3z≤ⅵ14,当且仅当 X 时等号成立 123 代人x+2y+3z=ⅵ14,得 142143√14 3√14 X →x+y+z 14 14 14 7 解法4:因为x+2y+3z=√14 所以:2=2 14 V4…+23 x+2x2 √14 4 9 (+x2)+(+y2)+(, 14 14 14 149 ++ (x-+1-+z 2 141414 由等号成立条件知 42√143√14 3√14 X →X+y+z 14 14 14 7 解法5:将实数x,y,z作为空间坐标系的三维 则方程x2+y2+z2=1是球心在原点,半径为1的球 而方程x+2y+3z=√4表示一个平面 1×0+2×0+3×0-√14 因为球心到平面的距离d +22+3 觇平村刃邴以唯解 由x+2y+3z=√14得x=14-2y-3z代人方程x2+y2+z2=1 2 利用判别式等于零得y=-,则 x=,再代人x+2y+3z=√14 14 2√14 3√14 3√14 X X+v+Z= 14 14 14 7 解法6:设空间向量a=(12,3),b=(x,y,z) 则ab≤知 x+2y+3z≤√12+22+32·√x2+y2+z 由条件可知等号成立,当且仅当ab共线 设b=a(λ∈R)x=元,y=2λ,z=3λ, 再代人x+2y+3z=√14得:2 √14 14 43√14 所以x+2y+3z=6=6× 14 7 例:设a>b>c>0,则2a2+ 10ac+25c2的最小值是 ab a(a-b 解 2a2+—+ 10ac+25c2 ab ala-b a(a-b)+ab+-+ +a2-10ac+25c ab a(a-b 244 a(a-b). a6.I +(a-5c)2≥