专题05基本初等函数第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题05基本初等函数第一缉 1．【2021年江西预赛】方程 的正整数解的组数为 . 【答案】9 【解析】由 ,得到 ,因 共有 1) 个正因数, 可取9个值,即 可取9个值,而当 取定后, 的值便唯一确定;因此方程有9组正整数解. 2．【2021年江西预赛】设对每个实数 的值皆取 中的最小值,则 的最大值是 . 【答案】9 【解析】如图,解出其交点,则有 则当 , 当 当 , 因此 , . 3．【2021年江西预赛】函数 的值域是 . 【答案】 【解析】 , 令 ,则 ,由此, , 当 时两边分别取得等号. 4．【2021年吉林预赛】已知函数 若存在 ,使得 ,则实数 的最大值为 . 【答案】1 【解析】a=1时，f（1）=0，符合题设； a>1时， ，不符合题设. 综上，实数a的最大值为1. 5．【2021年福建预赛】已知 ,若 成立，则 的取值范围为 . 【答案】 【解析】易知 是定义在 上的偶函数，且在 递减. 所以 . 解得, ,且 . 所以， 的取值范围为 . 6．【2021年福建预赛】已知 和 是两个二次项系数均为1的二次函数.若 , ,则 . 【答案】35 【解析】解法一:设 , 则由题设条件可得： ， (1)、(2)两式左右两边分别相加，得 ； (1)、(2)两式左右两边分别相减，得 . 另由 ,得 . 所以, . 所以, . 解法二:设 ,则由条件知 是二次项系数为1的二次函数. 又 , 所以, . 因此， . 所以, . 7．【2021年重庆预赛】设正实数a,b,c满足 ,且 ,则 . 【答案】19 【解析】令 ,则 , 从而 8．【2021年重庆预赛】已知函数 为 上的奇函数，当 时, ,则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】由函数 为奇函数，不等式等价于 ,由于单调递增，所以 , 当 ,解得 ； 当 查成立. 综上 . 9．【2021年重庆预赛】已知 ,对任意 与 至少有一个为正数，则实数 的取循范围是 . 【答案】 【解析】易知 ,所以当 时， 恒成立, 只需要当 时， 恒成立，即 . (1) ,解得 : (2) ,且 ,解得 . 综上 的取值范围为 . 10．【2021年广西预赛】设 为方程 的实根的个数，则 . 【答案】2 【解析】令 ,则 .当 时, 在[0,1]单调， . 故 在[0,1]内有唯一实根，从而 在 内有唯一实根. 于是，由 为偶函数可得原方程有且只有2个实根. 11．【2021年广西预赛】设 为正整数，函数 的值域为 ,则 . 【答案】 【解析】 单调递增, . 因此 . 12．【2021年新疆预赛】设 ,若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】方法一:因为函数 在区间 上有三个零点，即 在 上有三个不同的解. 令 . 则当 时, , 当 时，令 在[1,e]上单调递增，在 上单调递减. 因此, . 所以当 时，函数 在区间 上有三个零点. 方法二:函数 的图象如图所示， 当 时，不符合题意; 当 时，当 吋，存在一个零点； 当 , 当 时, 单调递减； 当 时， 单调递增. 所以， 与 在 上有两个交点. 由 得 . 所以当 时，函数 在区间 上有三个零点. 13．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设函数满足:对任意非零实数,均有,则在上的最小值为 . 【答案】. 【解析】令,分别得与,解得从而对,有. 当时,,当时等号成立.所以在上的最小值为. 14．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】设函数的定义域为,且对任意,均有,则的所有零点之和为 . 【答案】 【解析】令,分别得与, 解得 从而 令,得,故的所有零点之和为. 15．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】设,满足,则的值为 . 【答案】2 【解析】对原式两边取以为底的对数,得， 化简得.所以.进而. 16．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,函数在区间上的最小值为,在区间上的最小值为.若,则的值为 . 【答案】1或100 【解析】注意到在上单调减,在上单调增. 当时,; 当时,. 因此总有, 即,解得或. 17．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,满足:关于x的方程恰有三个不同的实数解,且,则的值为 . 【答案】144 【解析】令,则关于的方程恰有三个不同的实数解. 由偶函数,故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布,从而必有以下求方程的实数解. 当时,,等号成立当且仅当; 当时,单调增,且当时, 当时,单调减,且当时. 从而方程恰有三个实数解. 由条件知,结合得. 于是. 18．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足,则