专题04集合第四缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题04集合第四缉 1．【2021年吉林预赛】平面直例坐标系内有10个不|同点 ，若 或 ,则称 与 为一个“同标点对”(不考虑 与 的次序).若10个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过 个：无论何种棒况，都可以塔好将它们分成5个点对，钱个点对都不是“同标点对”.求 的最大值. 【答案】4 【解析】16.解:若已知的10个不同点为 , ,考虑到 两两构成“同标点对”,所以不能将以上10个不同点恰好分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”.所 以 . 下面证明：若10个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过4个，则无论何种情况，都可以恰好将它们分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”. 先将10个点随意分为5对、设为 若 与 均不构成“同标点对”，只需按上述分法即可. 若存在某对的两个点构成“同标点对”，如Q1，R1构成“同标点对”，考虑如下的调整方法： 方法1:将 换为 ,共余组不变: 方法2:将 换为 ,其余组不变; 方法3:将 换为 ,其余组不变; 方法4:将 换为 ,其余组不变； 方法5:将 换为 ,其余组不变； 方法6:将 换为 ,其余组不变。 方法7:将 换为 ,其余组不变; 方法8:将 换为 ,其余组不变. 由于 除了 外，至多各还有3个点与之构成“同标点对”，故上述8种方法中必存在一种方法，使得调整后的两个点对均不构成“同标点对”。按上述方法进行一次调整，这样至少减少了一个构成“同标点对”的点对。如果按上述方法进行一次调整后，还有构成“同标点对”的点对，再考虑类似的8种方法进行调整。这样随着不断调整，构成“同标点对”的点对必将逐渐减少。最终，经过有限次调整，一定能分成5个点对，每个点对都不是“同标点对”. 综上, 的最大值为4. 2．【2021年全国高中数学联赛A卷二试】求具有下述性质的最小正数：对任意整数，以及集合,若,则存在函数,满足. 【答案】答案见解析 【解析】所求最小的. 首先,当时,不存在满足要求的因为的元素和为16,且不能划分为两个元素和均为8的子集的并).此时,故不具有题述性质. 下面证明符合要求,即当时，存在满足要求的. 引理:设是正整数,总和为,且,则对任意整数,存在指标集,满足(对空指标集求和认为是零). 引理的证明：对归纳证明.时,只能,结论显然成立.假设,且结论在时成立.不妨设, 则 ① 又由于, 因此 ② 对任意整数,若,由①及归纳假设知存在指标集,使得若,则对用归纳假设(由②知),存在指标集,使得.此时指标集满足引理获证. 回到原问题.注意到,分两种情形讨论. (1)为偶数,设. 将 中元素从小到大依次记为. 令 , 则 . (这里利用了 . 从而 满足引理的条件. 取,利用引理可知存在,使得,令， 则， 从而结论成立（只需令,即可. (2)为奇数,设,则.将中元素从小到大依次记为. 令,同情形可知,又显然有.由于,故.从而. 因满足引理的条件,对及用引理,可知存在,使得 令， 则， 从而结论成立（只需对,令,对,令,并令即可 3．【2021年全国高中数学联赛B卷二试】求最大的正整数,使得存在8个整数和,满足:. 【答案】9 【解析】设符合要求,则整数满足:都属于集合, 其中,. 注意到,不妨设,则中必有两个数相等,不妨设 于是,所以. 又,故,得. 另一方面,令 则 即都属于集合. 综上,的最大值为9. 4．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】设集合.是否存在集合A的非空子集,满足 (1)； (2)都至少有4个元素; (3)的所有元素的和等于的所有元素的乘积? 证明你的结论. 【答案】答案见解析 【解析】答案是肯定的. 设=1,2,x,y﹐2<x<y≤19,则, 所以2xy+x+y=187, 故(2x+1)(2y+1)=375=15×25, 所以x=7,y=12是一组解. 故取=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19,1,2,7,12, 则这样的满足条件. 5．【2020年四川预赛】设m是给定的正整数.证明:对于任意给定的正整数 ,均存在集合 ,使得对于任意的正整数 ,均有 其中, 表示集合 中的元素之积. 【答案】证明见解析 【解析】 证明 时,结论成立. 对 进行归纳证明. 当 时,取 ,知结论成立. 假设结论对 成立,即存在 ， 对于任意的正整数 ,均有 令 则 显然, 故 . 当 时,显然, 从而, 当 时, , 从而, 故结论对 也成立. 由归纳原理,知对于任意给定的正整数 ,均存在集合 ， 使得对于任意的正整数 ,均有 因此,当 时,原结论成立. (2)证明 时,结论成立. 当 时,令 ,易