专题03 不等式中恒成立与有解问题-2021-2022学年高一数学同步专项练习（北师大版2019必修第一册）

不等式中恒成立与有解问题 1．若函数，当时恒有，求实数a的取值范围； 【答案】 【分析】 利用常变量分离法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】 当时，恒成立，此时； 当时，由，得，要想当时，恒成立，只需． 又（当且仅当时，取等号，即当时取“=”）， 从而， 综上所述：. 2．已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】 （1）由即，直接解一元二次不等式即可； （2）结合解集为R和二次函数图象特征，分别讨论二次项系数是否为零，求解参数取值即可. 【详解】 解：（1）当时，， 不等式即，即， 故不等式的解集为或； （2）由题意得的解集为， 当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，根据二次函数图象特征知，开口向上且， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．二次函数满足，且， （1）求的解析式； （2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）设，代入，待定系数即得解； （2）转换的图象恒在图象上方为，令，转化为二次函数在定区间的最小值即得解. 【详解】 （1）由题设 ∵ ∴又 ∴ ∴ ∴，∴ ∴ （2）当时，的图象恒在图象上方 ∴时恒成立，即恒成立 令，对称轴为，故函数在上单调递减， 时， 故只要即可，实数的范围. 4．已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分析可知关于的方程的两根为、，结合韦达定理可求得实数的值； （2）分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 （1）当时，不等式化为，解集为，不合题意，舍去； 当时，一元二次不等式的解集为或， 、是相应方程的两根，且． ，解得：． 综上可知：； （2）当时，不等式化为在上恒成立，符合题意； 若，关于的一元二次不等式的解集为， 得，解得． 综上，的取值范围是． 5．已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）结合一元二次不等式的解集、一元二次方程的根的关系列方程，由此求得的值. （2）对分成可两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】 （1）关于的不等式的解集为， ∴和1是方程的两个实数根，代入得，解得； （2）当时，不等式为，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上知，实数的取值范围是. 6．已知不等式的解集为或． （1）求、的值； （2）为何值时，的解集为？ （3）解不等式． 【答案】（1），；（2）；（3）答案见解析. 【分析】 （1）分析可知和是方程的两根，利用根与系数的关系可求得、的值； （2）由题意可得出，即可求得实数的取值范围； （3）将所求不等式变形为，对和的大小关系进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】 （1）由题意知，和是方程的两根，则，得， 方程为，由韦达定理可得，解得； （2）由题意可知，关于的不等式的解集为， 所以，，解得； （3）不等式，即为，即． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式无解． 综上知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 7．已知函数，不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理列出关于的方程组，由此求解出的值； （2）将问题转化为一元二次不等式在上恒成立，根据与的关系求解出的取值范围. 【详解】 （1）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以 解得； （2）由（1）得， 因为， 所以对恒成立， 于是， 即， 解得. 8．已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，；（2）答案见解析；（3）. 【分析】 （1）把代入可得不等式，然后解出即可； （2）根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的取值范围． 【详解】 （1）当时，则，由，得， 令，解得，或 原不等式的解集为，， （2）由得， 令，得， ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由即在上恒成立， 得 令， 则， 故实数的取值范围是 9．已知不等式． （1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围； （2）