专题01 集合中的元素问题-2021-2022学年高一数学同步专项练习（北师大版2019必修第一册）

集合中的元素问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．若集合求实数. 【答案】 【分析】 按照和分类讨论求出，再验证是否满足. 【详解】 因为，所以， 若，则，此时，，不符合题意； 若，则，此时，，满足. 综上所述：. 【点睛】 易错点点睛：求出后要验证是否满足. 2．设集合. （1）若，求a的值. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）计算得到，根据到，利用韦达定理得到答案. （2）根据得到，讨论，，，四种情况分别计算得到答案. 【详解】 （1）， 由，知 根据韦达定理得到 解得 （2）， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到解得； 当时，利用韦达定理得到无解； 当时，由（1）知：； 综上，实数a的取值范围是： 【点睛】 易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 3．若集合. （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】 （1）若，则的两个根分别为，根据韦达定理求得参数值. （2）若，分和两种情况进行讨论，从而求得参数值. 【详解】 （1）若，则的两个根分别为， 由韦达定理可得，故. （2）若，则或，故. 综上若，则或 4．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． （1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； （3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝0或a＝；（2）；（3）a≥或a＝0. 【分析】 （1）讨论当a＝0时和当a≠0时对于的条件，列出方程，即可得解； （2）根据集合A中至少有一个元素，转化为方程ax2－3x＋2＝0至少含有一个根进行求解； （3）问题分当a＝0时和当a≠0时两种情况讨论，当a≠0时，，从而可得答案. 【详解】 解：（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意． 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． （2）由题意得，当即a<且a≠0时方程有两个实根， 又由（1）知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是. （3）由（1）知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． 当集合A中没有元素，即A＝时，由题意得解得a>. 综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素. 5．已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）4；（2）或. 【分析】 （1）化为和是的两个实根可解得结果； （2）化为后，根据的子集分四类讨论可解得结果. 【详解】 ， （1）因为，所以， 所以和是的两个实根， 所以，即. （2）因为，所以，所以或或或， 当时，无解，所以，即， 当时，有且只有一个实根，所以无解， 当时，有且只有一个实根，所以无解， 当时，有2个实根和，所以，即. 综上所述：实数的取值范围是或. 【点睛】 关键点点睛：转化为子集关系求解是解题关键. 6．已知集合. （1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A； （2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围. 【答案】（1），；，；（2）． 【分析】 （1）当时，易知符合题意，当时，利用即可求出的值； （2）由至多有两个子集，可知集合中元素个数最多1个，再分和两种情况讨论，即可求出实数的取值范围． 【详解】 （1）①当时，方程化为：，解得， 此时集合，满足题意； ②当时，方程有一个根， ， 解得：， 此时方程为，解得， 集合，符合题意， 综上所述，时集合；时集合； （2）至多有两个子集，集合中元素个数最多1个， ①当时，一元二次方程最多有1个实数根， ， 解得， ②当时，由（1）可知，集合符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：． 【点睛】 本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题． 7．已知全集，，. （1）若，求的值； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据，结合补集的定义求出集合，根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据，化简集合的表示，再根据，结合补集的定义进行求解即可. 【详解】 （1）因为，所以. 为方程的两个根，. . （2）， ， ， 或， 或或， ， . 【点睛】 本题考查了已知一个集合的补集求该集合问题，考查了已知元素与集合的关系求参数问题，考查了数学运算能力. 8．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件