专题03 有理数的运算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题03 有理数的运算（压轴题专项讲练） 【典例1】阅读下面的文字，完成解答过程． （1）1，，，则　 ． （2）根据上述方法计算：． （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：　 　（其中n，k均为正整数），并计算． 【思路点拨】 （1）根据题中给出的列子可直接得出结论； （2）分别计算出，，的值，再进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可． 【解答过程】 解：（1）∵1，，， ∴． 故答案为：； （2）∵（1），（），（）， ∴ （1） （1） ． （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：（）． （1）． 故答案为：（）． 【典例2】已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　 　． 【思路点拨】 根据题意，可以先求出a、b、c、d的取值范围，然后即可得到a+2b+3c+4d的最大值． 【解答过程】 解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1， ∴d4＜90，则d＝2或3， c3＜90，则c＝1，2，3或4， b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， a＜90，则a＝1，2，3，…，89， ∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89， ∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值， ∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3， ∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64， ∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81， 故答案为：81． 1．计算：1　 ． 2．计算：　 ． 3． （2020秋•西城区校级月考）　 ． 4．1234567891011　 　． 5．（2021•宁波模拟）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有　 个数字是奇数． 6．（2021春•包河区期末）若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，则M﹣N＝　 　． 7．（2020•双流区校级自主招生）计算：（﹣32）÷6　 　． 8．（2020秋•汉阳区期中）同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1，2，﹣3， 4，﹣5，6，﹣7，8分别填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已 经帮助同学们完成了部分填空，则a+b的值是　 　． 9．如果4个不同的正整数m，n，p，q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）＝9，则m+n+p+q＝　 　． 10．（2021春•铜仁市期末）求1+2+22+23+…+22016的值，可令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝ 2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为　 　． 11．（2020秋•宿城区校级月考）请阅读下面的材料：计算：． 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为 ，故原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的． （2）请你用你认为简捷的解法计算：． 12．（2020秋•南山区期末）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100 个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经 过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设s＝1+2+3+…+100，① 则s＝100+99+98+…+1，② ①+②，得2s＝101+101+101+…+101． （两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和） 所以2s＝100×101，s100×101＝5050③ 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　． （3）计算：101+102+103+…+2018． 13．（2021春•浦东新区期中）阅读理解题： 在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如： 你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可