第1章 第3节 勾股定理的应用-【追梦之旅·大先生】2021-2022学年八年级上册数学同步训练方案（北师大版 河南专版）

( 2)证明:因为(m2 -n2 ) 2 +( 2mn) 2 = m4 +n4 - 2m2 n2 + 4m2 n2 =m4 +n4 +2m2 n2 ,(m2 +n2 ) 2 = m4 +n4 + 2m2 n2 ,所以(m2 -n2 ) 2 +( 2mn) 2 = (m2 +n2 ) 2 ,所以 m2 -n2 ,m2 +n2 ,2mn 是勾股数组; ( 3)化简得:7　 24　 25 因为偶数 24 = 2×3×4,25 = 42 + 32 ,7 = 42 - 32 ,所以 m = 4,n = 3,∴ m+n = 7. 8. 100 或 28　 【解析】根据题意可得 a- 8 = 0,b- 6 = 0,解得 a = 8,b = 6,所以当△ABC 是直角三角形时,c2 = a2 + b2 = 62 + 82 = 100 或 c2 = a2 -b2 = 82 -62 = 28. 9. C　 10. A 11. C　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,在△ABC 中,AC = 6, BC = 8,AB = 10,所以 62 + 82 = 102 ,所以 △ABC 是直角三角 形,∠C = 90° . 因 为 AD 平 分 ∠BAC,所 以 CD = ED. 在 Rt △ACD 和 Rt△AED 中, AD = AD CD = ED{ ,所以 Rt△ACD≌Rt△AED (HL) ,所以 AE = AC = 6,所以 BE = AB-AE = 10- 6 = 4. 设 CD = DE = x,则 BD = 8 -x,在 Rt△BDE 中,DE2 +BE2 = BD2 ,x2 + 42 = (8-x) 2 ,解得 x = 3. 故 DE 的长为 3. 故选 C. 12. 16 3 　 【解析】因为 AH = 3,CH = 4,AC = 5,所以 AH2 +CH2 = AC2 , 所以△ACH 是直角三角形,所以∠AHC= 90°,∠CHB= 90°,所以 BC2 =CH2 +BH2 . 因为∠BCA = 90°,所以 AB2 -AC2 = BC2 ,所以 AB2 -AC2 =CH2 +BH2 ,所以(AH+BH)2 -AC2 =CH2 +BH2 . 因为 AH = 3,CH = 4,AC= 5,所以(3+BH)2 -52 = 42 +BH2 ,解得 BH = 16 3 ,即 BH 的长是 16 3 . 13. 解:连接 BD. 在等腰直角三角形 ABC 中,∠A = ∠C = 45°,AB = CB. 因为 D 为 AC 边上中点,所以 AD = CD. 所以△ADB≌ △CDB,所以∠ADB = ∠CDB = 90°,所以 BD⊥AC,BD =CD = AD,∠ABD = 45°,所以∠ABD = ∠C. 又因为 DE 丄 DF,所以 ∠FDC + ∠BDF = ∠EDB + ∠BDF = 90°, 所 以 ∠FDC = ∠EDB. 在 △EDB 与 △FDC 中, ∠EBD = ∠C BD =CD ∠EDB= ∠FDC { , 所 以 △EDB≌△FDC( ASA),所以 BE = FC = 3,所以 AB = 7,则 BC= 7,所以 BF= 4. 在 Rt△EBF 中,EF2 =BE2 +BF2 = 32 +42 , 所以 EF= 5. 14. 解:( 1) 6,8,10　 9,12,15(答案不唯一) ( 2)证明:x2 +y2 = ( 2n) 2 +( n2 -1) 2 = 4n2 +n4 - 2n2 + 1 = n4 + 2n2 +1 = ( n2 +1) 2 = z2 ,即 x,y,z 为勾股数 . 15. 解:设 AB 为 3xcm,BC 为 4xcm,AC 为 5xcm. 因为周长为 36cm, 即 AB+BC+AC= 36cm,所以 3x+4x+5x = 36,得 x = 3,所以 AB = 9cm,BC = 12cm,AC = 15cm. 因为 AB2 +BC2 = AC2 ,所以 △ABC 是直角三角形,过 3 秒时,BP= 9-3×1 = 6(cm),BQ = 2×3 = 6(cm),所以 S△ PBQ = 1 2 BP·BQ = 1 2 ×6×6 = 18(cm2 ). 故过 3 秒时,△BPQ 的面积为 18cm2 . 16. 24 3　 勾股定理的应用 1. 1. 6　 【解析】连接 AD,由题意可知 AD = BD,设 CD = x,则 AD = BD = 5-x,在 Rt△ACD 中,AC = 3,由勾股定理,得 CD2 +AC2 = AD2 ,即 x2 +32 = (5-x) 2 ,解得 x = 1. 6,即 CD = 1. 6. 2. B　 【解析】将三棱柱沿 AA′展开,其展开图