专题08 《二次函数》中的圆问题-2021-2022学年九年级数学尖子生考点培优专题训练（苏科版，二次函数）

专题08 《二次函数》中的圆问题 （满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分 一、解答题 1．如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式． （2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标． （3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标． ②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最大值． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点A（2，0），点B与y轴交于点C（0，2），其对称轴为直线l：x＝4 （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）在直线l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由； （3）以AB为直径作⊙M，在直线l上是否存在点Q，使得过点Q作⊙M的切线QE（E为切点）恰好过点C？若存在，求切线QE的解析式；若不存在，说明理由． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝8，⊙O过点A且与BC相切于点E．设BE＝m． （1）当⊙O与CD相切时，求m的值； （2）点E从B向C运动，⊙O与CD边公共点的个数随m的变化而变化．直接写出公共点的个数及其对应的m的取值范围； （3）在点E从B向C运动的过程中，画出点O的运动路径，这个路径是 ．（填写序号） ①线段； ②弧； ③双曲线的一部分； ④抛物线的一部分 4．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形． （1）如图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：． （2）如图3，四边形是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且， ①求证：和是余等三角形． ②图4，连结交于点，连结，为上一点，连结并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式． 5．在直角坐标系中，的半径是4，圆心A的坐标为，与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线与交于点C与x轴交于点． （1）求证：为的切线； （2）若抛物线的顶点在直线上，与x轴的交点恰好为点E、F，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出M点的坐标． 6．已知点D为所在平面上的任意一点，根据下列条件解决问题： （1）如右图当为锐角时，．这样的点D有______个； （2）若交于点P； ①求的度数． ②设，△PDC面积为y．求y关于x的函数关系式． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若点P是线段（不与A、C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接将沿对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标． （3）如图2，若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接，，，， ①请找出一对全等的三角形并证明； ②请直接写出的最小值． 8．[问题探究] （1）如图1，ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF．则CE+EF的最小值为　 　； （2）如图2，⊙O为ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．将ACD绕点C逆时针旋转得到BCE．若CD＝4，求四边形ADBC的面积； [问题解决] （3）如图3，⊙O为等边ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合）， 连接DA．DB，DC．设线段DC的长为x．四边形ADBC的面积为S． ①求S与x的函数关系式； ②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点在边上，坐标，将绕点逆时针旋转90°后得到，点在边上，且． （1）求证：； （2）一条抛物线经过点，其顶点在经过点且和轴垂直的直线上，请求出该抛物线的解析式； （3）在（2）中的抛物线上有动点，请通过尺规作图的方法（不写作法，保留作图痕迹），直接确定是否存在这样的点，能使？若存在，这样的点一共有几个？ 10．如图，直径为5的的圆心在轴正半轴上，和轴交于两点，和轴交于两点且，抛物线经过三点，顶点为． （1）求三点的坐标． （2）求经过三点的抛物线的解析式． （3）直线