专题14 锐角三角函数-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上学期压轴题专题精选汇编（人教版）

2021-2022学年人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编 专题14 锐角三角函数 一．选择题 1．（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】如图，过点P作PH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OP，可得结论． 【完整解答】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H． ∵P（2，4）， ∴OH＝2，PH＝4， ∴OP＝＝＝2， ∴sinα＝＝＝， 故选：D． 2．（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　） A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米 【思路引导】过C作CD⊥AB于D，先证∠BAC＝∠BCA，得BC＝AB＝4千米，再由含30°角的直角三角形的性质求出CD的长即可． 【完整解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D， 则∠CDB＝90°， 由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米， ∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴BC＝AB＝4千米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， ∴CD＝BC＝2（千米）， 即该建筑物离地面的高度为2千米， 故选：A． 3．（2020秋•八步区期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】设AC＝a，通过解直角三角形用含a代数式分别表示出BC，CD的值，然后作比求解． 【完整解答】解：设AC＝a， ∵∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2a， ∵tan∠ABC＝＝， ∴BC＝AC＝a， ∵AB＝BD＝2a， ∴CD＝BC+BD＝（2+）a， ∴tan∠DAC＝＝＝2+． 故选：C． 4．（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【思路引导】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论． 【完整解答】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a， 在Rt△AHB中，AB＝＝＝a， ∴sin∠BAC＝＝， 故选：C． 5．（2020秋•南岸区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AH，可得结论． 【完整解答】解：过点A作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC＝5，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝BC＝4， ∴AH＝＝＝3， ∴sinB＝＝， 故选：C． 6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　） A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2 【思路引导】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，证明△DAB∽△TAC，推出＝＝，推出TC＝2，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2，由此即可解决问题． 【完整解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝， ∵＝＝2， ∴＝， ∵∠ADT＝∠ABC＝90°， ∴△ADT∽△ABC， ∴∠DAT＝∠BAC，＝ ∴∠DAB＝∠TAC， ∵＝， ∴△DAB∽△TAC， ∴＝＝， ∴TC＝2， ∵CD≤DT+CT， ∴CD≤1+2， ∴CD的最大值为1+2， 故选：B． 7．（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（　　）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19） A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米 【思路引导】作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，则EN＝MC＝D