专题12 相似三角形的应用-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上学期压轴题专题精选汇编（人教版）

2021-2022学年人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编 专题12 相似三角形的应用 一．选择题 1．（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论． 【完整解答】解：∵四边形CDEF是正方形， ∴CD＝ED，DE∥CF， 设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴x＝， ∴正方形CDEF的边长为． 故选：B． 2．（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　） A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m 【思路引导】由于光线是平行的，因此BN∥AM，可得△BCN∽△ACM，根据三角形相似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出MA． 【完整解答】解：∵BN∥AM， ∴△BCN∽△ACM， ∴＝， ∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m， ∴＝， ∴MA＝7.5（m）． 故选：B． 3．（2021•招远市一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.11m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　） A．0.5m B．0.52m C．0.55m D．2.22m 【思路引导】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度． 【完整解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得： ＝， 解得x＝2.22， 2.22﹣1.7＝0.52m， 所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.52m． 故选：B． 4．（2021•深圳模拟）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB＝240cm，当她走到距离墙角（点D）120cm的C处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（　　） A．120cm B．80cm C．60cm D．40cm 【思路引导】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【完整解答】解：过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为xcm，由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB：FE＝AH：（GC﹣x）， 则240：120＝160：（160﹣x）， 解得：x＝80． 即：投射在墙上的影子DE长度为80cm． 故选：B． 5．（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．16 B．24 C．30 D．36 【思路引导】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【完整解答】解：∵四边形EGHF为正方形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； 设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm， ∵AD⊥BC， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝24． 即：正方形零件的边长为24cm． 故选：B． 6．（2020秋•孝义市期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足，且OA＝OB．现在只要测得卡钳外端C，D两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小．这种测量原理用到了（　　） A．图形的旋转 B．图形的平移 C．图形的轴对称 D．图形的相似 【思路引导】首先连接AB、CD，然后根据“两边及夹角”判定△AOB∽△COD． 【完整解答】解：如图，连接AB、CD， ∵，OA＝OB， ∴OC＝OD， ∴＝． 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD． ∴＝＝2， ∴AB＝2CD，即d＝2CD． 所以这种测量原理用到了图形的相似． 故选：D． 7．（2020秋•滨湖区期末）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求