5.3 用待定系数法确定二次函数表达式（1）-2021-2022学年九年级数学尖子生考点培优专题训练（苏科版，二次函数）

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式（1） （满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　） A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2 【答案】A 【分析】 设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可． 【详解】 解：设和谐点为（t，t）， 把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t， 整理得at2+6t+c＝0， ∵t有且只有一个值， ∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9， 把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a， 把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3， ∴c＝6﹣3＝3， ∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键． 2．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 … 以下结论正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大 C．方程的根为0和2 D．当时，x的取值范围是 【答案】C 【分析】 利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断． 【详解】 解：将代入抛物线的解析式得； ， 解得：， 所以抛物线的解析式为：， A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题； B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意； C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意； D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答． 3．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题． 【详解】 解：设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 设过三个点，，的抛物线解析式为： 分别代入，，得 解得； 最大为， 故选：A． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．已知二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 2 6 … … 2 6 2 … 当时，的值是（ ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】 运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可． 【详解】 解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得 解得， ∴二次函数解析式为 ∴当时， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．． 5．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：；根据旋转的性质，得的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，得，再通过列方程并求解，即可得到表达式并转换为顶点式，即可得到答案． 【详解】 设将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为： ∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点 ∴的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点 ∴