专题二 全等三角形中常见的模型-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

专题二 全等三角形中常见的模型 知识要点 1. “8”字型全等 （1）已知AB//CD，△ABC与△DCE中只需一组对应边相等， 则两角一边可证△ABC≌△DCE （2）已知AE=DE,BE=CE , 则可证△ABC≌△DCE（SAS） 2. “K”字型全等——一线三等角 已知∠BAC=∠D=∠E，BA=AC(或DA=EC或BD=AE)， 则可证△BDA≌△AEC 3.“手拉手”模型——旋转型全等 △ABC与△CDE为等边三角形 △ACD与△ECB是等腰直角三角形 可证得△ACE≌△BCD（SAS） 可证得△ACE≌△DCB（SAS） 例题精讲 知识点1：“8”字型全等 【例1】如图，D是线段AB上一点，DF与AC交于点E，点E为线段AC的中点，CF∥AB．求证：AD＝CF． 【分析】根据题目中的条件可以得到△AED和△CEF全等的条件，从而可以证明结论成立． 【解析】证明：∵点E为线段AC的中点，CF∥AB， ∴AE＝CE，∠A＝∠ECF， 在△AED和△CEF中， ∠A＝∠ECF，AE＝CE，∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（ASA）， ∴AD＝CF． 点评：本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【例2】如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF． （1）求证：BG＝CF． （2）请你猜想BE＋CF与EF的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可． （2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可． 【解析】（1）证明：∵BG∥AC， ∴∠C＝∠GBD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝DC， 在△CFD和△BGD中 ∠C＝∠GBD，CD＝BD，∠CDF＝∠BDG， ∴△CFD≌△BGD， ∴BG＝CF． （2）BE＋CF＞EF， 理由如下： ∵△CFD≌△BGD， ∴CF＝BG， 在△BGE中，BG＋BE＞EG， ∵△CFD≌△BGD， ∴GD＝DF，ED⊥GF， ∴EF＝EG， ∴BE＋CF＞EF． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力． 【举一反三】 1.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，DF交AC于点E，有下列3个论断：①DE＝EF； ②AE＝CE；③AB∥CF．以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件组成命 题．其中正确的有 个． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可判断结论是否正确，根据真命题的定义，可得答案． 【解析】解：以①②为条件，③为结论，是真命题，理由是：∵△AED≌△CEF（SAS），∠A＝∠C，∴AB∥CF，故是真命题； 以①③为条件，②为结论，是真命题，理由是：∵AB∥CF，∴∠A＝∠C，∴△AED≌△CEF（AAS），∴AE＝CE，故是真命题； 乙②③为条件，①为结论，是真命题，理由是：∵AB∥CF，∴∠A＝∠C，∴△AED≌△CEF（ASA），∴DE＝FE，故是真命题； 故答案为：3． 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE＝CF． 【分析】想办法证明△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题． 【解析】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BED和△CFD中， ∠BED＝∠CFD＝90°，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CF． 点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． 知识点2：”K”字型全等—— 一线三等角 题型一：“ K”字型 —— 一线三直角 已知∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，BA=AC(或DA=EC或BD=AE) 则可证△BDA≌△AEC 【例1】如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB＝AC，∠BAC＝90°， （1）△ABD≌△CAE （2）探索DE、BD、CE长度之间的关系，并证明． 【分析】（1）由于∠BAC＝90°，根据平角定义可知∠EAC＋∠DAB＝90°，又BD⊥DE，CE⊥DE，根据垂直定义可得∠DAB＋∠DBA＝90°，∠D＝∠E＝90°，再根据同角的余角相等可得∠EAC＝∠