专题13 立体几何与空间向量（解答题）- 2022届新高考（全国I卷）地区优质数学试卷分项解析

专题13 立体几何与空间向量（解答题） 53．（2021·河北沧州·）如图所示，已知四棱锥中，四边形为正方形，三角形为正三角形，侧面底面，M是棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 54．（2021·普宁市第二中学高三月考）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.已知，，，. 求证：平面平面； 求二面角平面角的余弦值. 55．（2021·广东实验中学高三月考）如图，四棱锥中，，，点F是AB的中点，点G在线段DC上，且． （1）求证：平面CEF； （2）若平面ABC，，，求锐二面角的余弦值． 56．（2021·广东高三月考）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，且顶点到，，，的距离相等，与交于点，连接. （1）求证：； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值. 57．（2021·广东高三月考）如图，在四棱柱中，平面平面，底面是菱形，，E为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 58．（2021·广东执信中学高三月考）如图所示，在三棱锥中，侧棱平面，为线段中点，，，． （1）证明：平面； （2）设Q是线段上一点，二面角的余弦值为，求的值． 59．（2021·广东执信中学高三月考）如图1，圆O的半径为2，均为该圆的直径，弦垂直平分半径，垂足为F，沿直径将半圆所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）． （1）求的积； （2）如图2，在劣弧上是否存在一点P（异于两点），使得平面？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由． 60．（2021·广东深圳市·高三月考）如图，在三棱锥中，，O为中点. （1）证明：平面平面； （2）若点M在棱上，，且，求直线与平面所成角的正弦值. 61．（2021·湖南长郡中学高三月考）如图，在中，．O为的外心，平面，且． （1）求证： 平面； （2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值 62．（2021·湖南师大附中高三开学考试）如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆. （1）证明：； （2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值. 63．（2021·湖南雅礼中学）如图，在半圆柱中，分别为该半圆柱的上、下底面直径，分别为半圆弧上的点，均为该半圆柱的母线，. （1）证明：平面平面； （2）设，若二面角的余弦值为，求的值. 64．（2021·湖南师大附中高三月考）如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）. （1）若为的中点，证明：； （2）设面与面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围. 65．（2021·湖北武汉二中高三月考）如图，平面，，，，四边形的对角线交于点M，N为棱上一点，且平面. （1）求的值： （2）求二面角的余弦值. 66．（2021·湖北武汉·高三开学考试）在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，. （1）设为中点，证明：平面； （2）求二面角大小的正弦值. 67．（2021·湖北高三开学考试）如图，在三棱锥与三棱锥拼接而成的五面体中，平面，平面平面，是边长为的正三角形，是直角三角形，且 （1）求证：平面； （2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 68．（2021·湖北高三开学考试）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且 （1）设点M为棱中点，求证平面； （2）线段上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的正弦值等？若存在，试求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 69．（2021·山东省平邑县第一中学高三开学考试）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，BCAB，侧面BB1C1C是正方形，D，E分别为BC，B1C1的中点，P为AD上一点，过P和B1C1的平面交AB于M，交AC于N． （1）证明：AA1∥DE，且平面AA1ED⊥平面MNC1B1； （2）设Q为A1E的中点，若AQ∥平面MNC1B1，且AQAB，求平面MNC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值． 70．（2021·山东青岛·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 71．（2021·山东师范大学附中高三开学考试）已知四棱锥中，平面，且，底面是边长为b的菱形，． （1）求证：平面平面； （2）设与交于点为中点，若二面角的正切值是，求的值． 72．（2021·江苏南京·高三开学考试）如图，四棱柱中，面面，面面，点、、分别是棱、、的中点． （1）证明：面． （2）若四边形是边长为的正方形，且，面面直线，求直线与所成角的余弦值． 73．（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）求证：； （2）若，求平面