小题压轴题专练17—立体几何（外接球2）—2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练17—立体几何（外接球2） 一．单选题 1．已知四面体 中， ， ， ， 是 的中点， ， ，则四面体的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 2．阿基米德多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为 ，则该阿基米德多面体外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 3．已知 ， ， ， 四点都在某个球表面上， 与 都是边长为1的正三角形，二面角 的大小为 ，则该球的表面积为 　　 A． B． C． D． 4．正三棱锥 底面边长为2， 为 的中点，且 ，则三棱锥 外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 5．已知在三棱锥 中，侧棱 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 6．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为 　　 A． B． C． D． 7．如图，三棱台 中， ， ， ， ，平面 平面 ，则该三棱台外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 8．在四面体 中， ， ，则该四面体外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 二．多选题 9．已知 中， ， ， 为边 上的高，且 ，沿 将 折起至 的位置，使得 ，则 　　 A．平面 平面 B．三棱锥 的体积为8 C． D．三棱锥 外接球的表面积为 10．将边长为2的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，如图所示，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则 　　 A． B．四面体 的表面积为 C．四面体 的外接球的体积为 D．过 且与 平行的平面截四面体 所得截面的面积为 11．直三棱柱 中， ， ，点 是线段 上的动点（不含端点），则以下正确的有 　　 A． 平面 B．三棱锥 的外接球的表面积为 C． 的最小值为 D． 一定是锐角 12．半正多面体 EMBED Equation.DSMT4 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 ，则 　　 A． 平面 B．该二十四等边体的体积为 C．该二十四等边体外接球的体积为 D．平面 平面 三．填空题 13．如图，直三棱柱 ， 为等腰直角三角形， ．且 ， ， 分别是 ， 的中点， 为 的中点，则四棱锥 的外接球表面积为 　　． 14．若在三棱锥 中， ， ， 平面 ，且直线 与平面 所成角的正切值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　． 15．如图，已知边长为1的正方形 与正方形 所在平面互相垂直， 为 的中点， 为线段 上的动点，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为 　　． 16．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的体积为 　　． 小题压轴题专练17—立体几何（外接球2）答案 1．解：如图，四面体 的外接球为球 ，连接 ， ， 因为 ， 则 为 所在小圆的直径， 又因为 ，且 ，则 ， 又 是 的中点，所以 ， 又因为 ，则 或 ， 设球的半径为 ，则 ， 在 中，由余弦定理可知， ， 则 （不合题意，舍去）， 又 ，则 ， 则 ，解得 ， 所以球的表面积为 ． 故选： ． 2解：由题意，可得阿基米德多面体的棱长为原正四面体棱长的 ， 设原正四面体的棱长为 ，则其表面积为 ， 阿基米德多面体的表面积为 ，得 ． 因此原正四面体的底面三角形的高为 ， 原正四面体的高为 ， 由题意知，原正四面体外接球的球心就是该阿基米德多面体外接球的球心， 设该阿基米德多面体外接球的半径为 ，球心为 ， 根据正四面体的特征可知， 到该阿基米德多面体正六边形侧面的距离 为正四面体内切球的半径． 原正四面体的体积为 ，则 ； 又阿基米德多面体每个正六边形侧面的外接圆的半径 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 则该阿基米德多面体外接球的体积为 ． 故选： ． 3．解：取线段 的中点 ，连结 ， ， 由题意得 ， ， 是二面角 的平面角，则 ， 由题意得 平面 ， 分别取 ， 的外心 ， ，过点 ， 分别作两平面的垂线， 两直线的交点为 ，则 为三棱锥外接球的球心，连结 ，则球 半径 ， 由题意知 ， ， ， ， 连结 ，在 中， ， ， ， 球 的表面积为 ， 故选： ． 4．解：如图， 设 ，则 ，而 ， ， 由勾股定理可得 ，即 ， 则 ，由对称性可知，三棱锥 外接球的球心 在