小题压轴题专练16—立体几何（外接球1）—2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练16—立体几何（外接球1） 一．单选题 1．在三棱锥 中，点 在平面 中的投影是 的垂心，若 是等腰直角三角形且 ， ，则三棱锥 的外接球表面积为 　　 A． B． C． D． 2．已知菱形 的边长为 ，沿对角线 将 折起，则当四面体 的体积最大时，它的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 3．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马 （如图）， 平面 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，当空间四边形 的周长最小时，三棱锥 外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 4．已知三棱锥 的底面是正三角形， ，点 在侧面 内的射影 是 的垂心，当三棱锥 体积最大值时，三棱锥 的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 5．在四面体 中， ， ，则它的外接球的面积 　　 A． B． C． D． 6．已知三棱锥 的底面是正三角形， ，点 在侧面 内的射影 是 的垂心，当三棱锥 体积最大值时，三棱锥 的外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 7．如图所示，正四面体 中， 是棱 的中点， 是棱 上一动点， 的最小值为 ，则该正四面体的外接球表面积是 　　 A． B． C． D． 8．已知四棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ， ，二面角 的余弦值为 ．当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 二．多选题 9．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，且 到平面 的距离为1，则下列说法正确的是 　　 A．三棱锥 的体积为 B． 与 所成角的大小为 C． D．三棱锥 外接球的表面积为 10．已知在正三棱锥 中，底面 的边长为4， 为 的中点， ， ，下列结论正确的为 　　 A．正三棱锥 的体积为 B．三棱锥 的外接球的表面积为 C． D． 与 所成角的正切值为 11．已知三棱锥 中， ， 是边长为 的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，则以下说法正确的是 　　 A． B． 与平面 所成的角的正切值为 C．此三棱锥外接球的体积是 D．此三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为 12．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，三棱锥 的所有顶点均在球 的表面上，若点 、 分别为 与 的重心，直线 与球 的表面相交于 、 两点，则 　　 A．三棱锥 的外接球表面积为 B．点 到线段 的距离为 C． D． 三．填空题 13．四棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形， ，且 ，则此球的表面积等于 　　． 14．在长方体 中，已知 ， ， 分别为 ， 的中点，则平面 被三棱锥 外接球截得的截面圆面积为 　　． 15．已知三棱锥 中， ， ， ， ，且平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 　　． 16．一块边长为4的正方形纸板，如图所示， 是 的中点，现将该纸板沿 ， 折起，使 ， 重合，得到一个四面体，则该四面体的外接球的体积为 　　． 小题压轴题专练16—立体几何（外接球1）答案 1．解：设 的垂心为 ，则 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ，同理 ， ． 因为 ， ，所以 平面 ，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ，所以 ，则 因为 ， ， 两两互相垂直，设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ， 所以 ，球的表面积为 ． 故选： ． 2．解：当平面 平面 时，高最大，此时四面体 的体积最大， 令 ， 则 ， 边 上的高为 ， 故四面体 的体积 ， ， 则 ， 易得，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 故当 时，体积取得最大值，此时 ， ， 以四面体的棱为长方体对角线，构造长方体，设长方体长宽高分别为 ， ， ， 则 ， 则 ， 故外接球的表面积 ． 故选： ． 3．解：如图所示，把 ， 剪开，使得 与矩形 在同一个平面内． 延长 到 ，使得 ，则四点 ， ， ， 在同一条直线上时， 取得最小值，即空间四边形 的周长取得最小值． 可得 ， ． 点 为 的中点 如图所示，设 的外心为 ，外接圆的半径为 ，则 ． 取 分别为 ， 的中点． 设 ，则 ，解得 ． 设三棱锥 外接球的半径为 ， 则 ． 三棱锥 外接球的表面积 ． 故选： ． 4．解：延长 交 于 ，连接 ， 是 的垂心， ， 平面 ， 平面 ， ， 又 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，又 平面 ， ， 连接 并延长交 于 ，连接 ， 由 平面 可得 ， 又 ， ， 平面 ， ． 设 在平面 上的射影为 ，延长 交 于 ，连接 ． ， ， 平面 ． ， ． 是 的中心， 是 的中点， ， 当 ， ， 两两垂直时，三棱锥 体积取得最大值时， 将 ， ， 作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长， 所以三棱锥 的外接球