第九章 立体几何专练5—外接球（1）-2022届高三数学一轮复习

第九章 立体几何专练5—外接球（1） 1、 单选题 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑 中，满足 平面 ，且 ， ，当该鳖臑的体积为10时，它外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 2．已知 ， ， 为球 的球面上的三点， 为 的外接圆，若 ，则球 的表面积为 　　 A． B． C． D． 3．在三棱锥 中， ， ， ， ，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 4．如图正四棱柱 中，底面面积为36，△ 的面积为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 5．在三棱锥 中，已知 平面 ， ， ．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 　　 A． B． C． D． 6．在四面体 中，已知平面 平面 ，且 ，其外接球表面积为 　　 A． B． C． D． 7．在平行四边形 中， ，且 ， ，若将其沿 折起使平面 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 8．已知三棱锥 中， ， ， ， 面 ，则此三棱锥的外接球的体积为 　　 A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知在正三棱锥 中，底面 的边长为4， 为 的中点， ， ，下列结论正确的为 　　 A．正三棱锥 的体积为 B．三棱锥 的外接球的表面积为 C． D． 与 所成角的正切值为 10．已知三棱锥 中， ， 是边长为 的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，则以下说法正确的是 　　 A． B． 与平面 所成的角的正切值为 C．此三棱锥外接球的体积是 D．此三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为 11．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，三棱锥 的所有顶点均在球 的表面上，若点 、 分别为 与 的重心，直线 与球 的表面相交于 、 两点，则 　　 A．三棱锥 的外接球表面积为 B．点 到线段 的距离为 C． D． 12．已知 中， ， ， 为边 上的高，且 ，沿 将 折起至 的位置，使得 ，则 　　 A．平面 平面 B．三棱锥 的体积为8 C． D．三棱锥 外接球的表面积为 3、 填空题 13．在三棱锥 中，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ， ， 与底面 所成的角的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　． 14．在四棱锥 中，顶点 在底面的投影 恰为正方形 的中心，且 ，当四棱锥 的体积取得最大值时，该四棱锥的外接球的表面积为 　　． 15．如图1，在直角梯形 中， ， ， ，将 沿 折起到 的位置，得到图2中的三棱锥 ，其中平面 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　 16．如图所示，半径均为 的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体 ，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为 ，则小球半径 　　． 第九章 立体几何专练5—外接球（1）答案 1．解：由题意，该鳖臑如图所示， 当鳖臑的体积为10时，有 ， 解得： ，该鳖臑的外接球即该长方体的外接球， 设外接球半径为 ，则 ， 鳖臑的外接球表面积为 ， 故选： ． 2．解：由正弦定理得 的外接圆半径 满足 ，解得 ． 设球的半径为 ，则由 平面 ，得 ， 所以球的表面积为 ． 故选： ． 3．解： 在三棱锥 中， ， ， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， ， ， 如图，当 平面 时，三棱锥 的体积最大， 把三棱锥 放在长方体中，其外接球的半径为： ， 当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为： ． 故选： ． 4．解：设正四棱柱 的高为 ， 正方形 的面积为36， ， 在 △ 中，由勾股定理得 ， 在 中，由勾股定理得 ， △ 的面积为 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 依题意，三棱锥 的外接球即为正四棱柱 的外接球， 其半径为 ， 三棱锥 的外接球的表面积为 ． 故选： ． 5．解：如图，由 平面 ，满足侧棱 底面，求此类三棱锥外接球的问题，转化为直棱柱求解， ， ， ， 为直角三角形， 外接圆的半径 ， 锥高 ， 设球的半径为 ，由勾股定理 ，可得 ， 三棱锥外接球的面积为 ， 故选： ． 6．解：如图， 设平面 和平面 外接圆的圆心分别为 ， ，半径为 ， ，球心为 ， ，可得 ， ， 为等边三角形， 为 的重心， EMBED Equation.DSMT4 ，同理， ， 由球的性质可知， 平面 ， 平面 ， ，同理， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 四边形 为正方形， ， ，即 ， 外接球表面积为 ， 故选： ． 7．解：如图，将 沿 折起，使平面 平面 ，点 即 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 满足侧棱 底面，可转化为直棱柱外接球求