2.3均值不等式（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第二章 等式与不等式 2.3 均值不等式 知识梳理.均值不等式 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 4. 均值不等式常见变形： ① ② ③ ④ 【例】已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是（　　） A． B．a2+b2＞2ab C． D． 【答案】C． 【解答】解：根据a，b∈R，且ab＞0，取a＝﹣1，b＝﹣2，则可排除AD， 取a＝b＝1，则可排除B． 故选：C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 题型一.利用均值不等式求函数最值 考点1.直接利用均值不等式求最值 1．若x＜0，则函数y＝x1的最大值为（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4 【答案】A． 【解答】解：∵x＜0，∴﹣x＞0， 则函数y＝x1＝﹣（﹣x）﹣1≤﹣21＝﹣5， 当且仅当﹣x，即x＝﹣2时取等号， ∴函数y＝x1的最大值为﹣5． 故选：A． 2．当x＞1时，f（x）的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A． 【解答】解：因为x＞1，故f（x）， 当且仅当，即x＝2时取等号， 故f（x）的最大值为． 故选：A． 3．已知x＞1，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A． 【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0． ∴ ， （当且仅当，即时，等号成立）． 故选：A． 考点2.凑定值 1．已知x，求y＝4x﹣2的最大值； 【答案】1 【解答】解：∵x， ∴y＝4x﹣53＝3﹣（5﹣4x）≤3﹣2＝1， 当且仅当5﹣4x即x＝1时取等号； 2．已知，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵0＜x， ∴x（1﹣2x）•2x（1﹣2x）•[]2， 当且仅当2x＝1﹣2x时，即x时等号成立， 因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（）， 故选：C． 3．求函数的最小值． 【答案】25． 【解答】解：， 当且仅当时，即当等号成立，故函数y的最小值为25． 考点3.不能用均值不等式的情况 1.函数在的值域为 . 【答案】 【解析】对勾函数 题型二.利用均值不等式求二个字母的代数式的最值 考点1.和定积最大，积定和最小 1．已知a＞0，b＞0，且满足1，则ab的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足1， ∴1，化为：ab≤3，当且仅当a，b＝2时取等号． 则ab的最大值是3． 故选：B． 2．（多选）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（　　） A．ab≤1 B． C．a2+b2≥2 D．a3+b3≥3 【答案】AC． 【解答】解：根据a＞0，b＞0，a+b＝2，取a＝b＝1，则BD不成立， 因本题为多选题，故AC正确． 故选：AC． 考点2.1的代换 1．若m＞0，n＞0，m+n＝3，则的最小值为（　　） A．2 B．6 C．9 D．3 【答案】D． 【解答】解：由m+n＝3，得（m+n）＝1，又m＞0，n＞0， 所以（m+n）（）（5）（5+2）＝3， 当且仅当，n＝2m，即n＝2，m＝1时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：D． 2．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B． 【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2． 化简可得 2， ∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立， 故ab的最小值是8， 故选：B． 考点3.x，y，xy型 1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为　　． 【答案】． 【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2 即：xy＝2﹣（x+y）， 利用基本不等式：xy≤（）2． ∴2﹣（x+y）≤（）2． 解之得：x+y，则x+y的最小值为． 故答案为． 2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为　4　． 【答案】4． 【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x＝2y时取等号） 整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0 即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0， 所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即