2.1等式（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第二章 等式与不等式 2.1 等式 知识梳理.等式的性质与方程的解集 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 4. 因式分解 角度一　x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 例1. 分解因式：x2－3x＋2； 【解析】　如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)． 角度二　ax2＋bx＋c型式子的因式分解 例2. 分解因式：6x2＋5x＋1； 【解析】由图，得 所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)． 题型一.等式的性质与方程的解集 1．已知a＋b＝3，ab＝2，计算：a2b＋ab2等于(　　) A．5 B．6 C．9 D．1 【答案】选B. 【解析】a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6. 2．分解因式a2＋8ab－33b2得(　　) A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b) C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 【答案】选B. 【解析】a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)． 3．把下列各式分解因式： (1)x2＋15x＋56； (2)6x2＋7x－3； (3)x2－6xy－7y2； (4)8x2＋26xy＋15y2. 【答案】见解析 【解析】(1)x2＋15x＋56＝(x＋7)(x＋8)； (2)6x2＋7x－3＝(2x＋3)(3x－1)； (3)x2－6xy－7y2＝(x－7y)(x＋y)； (4)8x2＋26xy＋15y2＝(2x＋5y)(4x＋3y)． 4. 用因式分解法求下列方程的解集． (1)6x(x＋1)＝5(x＋1)； (2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0； (3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2． 【答案】 (1) (2) {0，2} (3) {1} 【解析】　(1)分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0， 所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1． 所以方程的解集为． (2)分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0， 所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2． 所以方程的解集为{0，2}． (3)整理，得x2－2x＋1＝0．即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1． 所以方程的解集为{1}． 知识梳理.一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝0时，方程的解集为； (3)当Δ<0时，方程的解集为 ∅ ． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝． 【例】已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． 所以Δ≥0， 即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0， 解得k≤. (2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3. 因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11， 解得k＝4或k＝－1， 因为k≤，所以k＝－1. 题型二.一元二次方程的解集及其跟与系数的关系 1．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是(　　) A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】选C. 【解析】Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0. 2．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．m<　　　　　　　　 B．m>－ C．m<且m≠0 D．m＞－且m≠0 【答案】选D. 【解析】Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1