专题— 角平分线有关的辅助线-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

专题一 角平分线有关的辅助线 知识要点 利用角平分线构造全等三角形 一般，含有角平分线的图形，很容易以此构成全等三角形（已有一对角相等、一条公共边） 关于角平分线的问题，常用三种辅助线 （1）角平分线上一点向角的两边作垂线 过点D作DF⊥BC，交BC于点F △BED≌△BFD（AAS） （2） 截长补短 截长 补短 在BC在截取BF=BE 延长BC至点F，使BF=AE △BED≌△BFD（SAS） △BED≌△BFD（SAS） （3）延长构造全等三角形，产生等腰三角形 延长ED与BC相交与点F △BED≌△BFD（ASA） 例题精讲 知识点1：截长补短 截长 补短 在BC在截取BF=BE 延长BC至点F，使BF=AE △BED≌△BFD（SAS） △BED≌△BFD（SAS） 【例1】如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC．求证：∠BAD＋∠C＝180°． 【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推出∠BED＋∠C＝180°，即可得出答案． 【解析】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中 AB＝BE，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE， ∵AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC， ∵∠BED＋∠DEC＝∠A＋∠DEC＝∠A＋∠C＝180°， 即∠BAD＋∠C＝180°． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线． 【例2】截长 已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD． 【分析】在AB上取AE＝AC．连接DE，可得△ACD≌△AED，得出ED＝CD，进而通过线段之间的转化即可得出结论． 【解析】证明：方法1：在AB上取AE＝AC，连接DE， ∵AE＝AC，∠1＝∠2，且AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B， 又∵∠AED＝∠B＋∠BDE， ∴∠B＝∠BDE， ∴EB＝ED，即△BED为等腰三角形． ∴BE＝ED＝CD， ∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质等问题，能够利用全等三角形的性质求证一些简单的问题． 【例3】补短 已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD． 【解析】延长AC到E，使CE＝CD，连接DE． 则∠CDE＝∠E， ∴∠ACB＝∠CDE＋∠E＝2∠E， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠E， ∵∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）， ∴AB＝AE＝AC＋CD． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质等问题，能够利用全等三角形的性质求证一些简单的问题． 【例4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE＝OD； （3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据△ABC中，∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120度．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC＝120°； （2）根据全等得出OE＝OF，OD＝OF，即可得出答案； （3）求出∠AOE＝60度．在AC上截取AF＝AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，∠AOE＝∠AOF＝60°，可证△COD≌△COF，则CD＝CF．因为AF＝AE，所以AC＝AF＋CF＝AE＋CD，即AE＋CD＝AC． 【解析】（1）解：在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝180°−∠B＝180°−60°＝120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB， 在△OAC中，∠AOC＝180°−（∠OAC＋∠OCA） ＝180°−（∠BAC＋∠ACB）＝180°−×120°＝120°； （2）在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，