专题01 集合第一缉 - 备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题01集合第一缉 1．【2021年江西预赛】集合M是集合A={1，2，…，100}的子集，且M中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M的个数是 . 【答案】 【解析】集合 中的平方或者立方数构成集合 ,100}, 其中有12个元素,从 中挖去集合 后剩下的元索构成集合 ,则 中有88个元索, 由于 的子集有 个, 的非空子集有 个, 集 可表示为 形式,其中 是 的任一非空子集, 是 的任一子集,因此 的个数为 2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设 ,则 中的所有元素之和为 . 【答案】 【解析】由 , 则可知所有元素之和为 . 3．【2021年广西预赛】集合 的所有子集的元素的和等于 . 【答案】672 【解析】所有子集的元素的和为 . 4．【2021年新疆预赛】若实数集合 的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则 的值为 . 【答案】 【解析】若 是最大元素，则 ,解得 ,不合题意； 若 是最小元素，则 ,解得 ； 若 既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意； 所以 . 5．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合,其中为实数.令.若的所有元素之和为6,则的所有元素之积为 . 【答案】 【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素. 注意到,当为实数时,,故只可能是,且.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为. 6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合,A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 . 【答案】190 【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的的取法共有种,所以这样的集合A的个数为190. 7．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数 的最大整数,集合 , 则 . 【答案】 【解析】易知, .若 ,则 当 时,若 ,则 , 不存在. 当 时,若 ,则 经检验, 不符合要求, 符合要求. 当 时,若 ,则 ， 均不符合要求. 当 时,若 ,则 , 均不符合要求. 当 时,若 ,则 . 经检验, 符合要求, 不符合要求.故 . 8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】若 ,则 而当 与 相切时， . 于是,当 时, .若 ,则 ,此时， . 综上, . 9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对 的任意非空子集 为集合 中最大数与最小数的和.则所有这样的 的算术平均数为 . 【答案】2021 【解析】考虑 的子集 若 ,则 若 ,设 中最大数为 ,最小数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时, 故所求算术平均数为2021. 10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合 中的任意元素 则集合 的元索个数的最大值为 . 【答案】1616 【解析】首先,构造404个集合 ,其中， 其次,集合 中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数 单独构成一个集合 ,有1212个. 共 个集合. 据抽臣原理,知若集合 中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾. 故集合 中至多有1616个数,满足条件的一个集合是 . 11．【2020年吉林预赛】已知集合 若 ,则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意,得log 则 或 解得 或 12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成 形式,就称其为“好数".则集合 中好数的个数为 . 【答案】153 【解析】先考虑 可取 则 可取 . 故当 时共有48个非零好数 型）； 时共有42个好数 型),此时好数为 ; 时共有35个好数 型),此时好数为 时共有28个好数 型),此时好数为 综上,共有 个好数. 13．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 . 【答案】2020 【解析】集合 的 个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1 ,它们的倒数和为 . 14．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 . 【答案】 【解析】由题意知，x为负值，. 15．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数a的值是 . 【答案】2 【解析】，.又，故，解得. 16．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 . 【答案】16815 【解析】所求的和为 17．【2019年新疆预赛】已知