第二十四章 专题八 圆中常见的辅助线-2021-2022学年九年级上册初三数学【练出好成绩】初中同步图书课件（人教版）河南专版

九年级上册 数 学 目 录 辅助线的添加是几何解题的关键和难点.对于圆而言，准确的添加辅助线课时问题迎刃而解：一方面可将条件中隐含的特殊点、线、圆等的性质充分显示出来；；另一方面，可将圆中分散、远离的元素，通过转变或转化，整合到同一图形中解决. 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 1．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( ) A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米 B 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 2．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是( ) A．4 B．3＋ C．3 D．3＋ B 解析：如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB.∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC＝3，PC＝a.把x＝3代入y＝x，得y＝3，∴点D坐标为(3,3)，∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形．∴△PED也为等腰直角三角形．∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2.在Rt△PBE中，∵PB＝3，∴PE＝＝1，∴PD＝＝，∴a＝3＋. 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D等于( ) A．50° B．45° C．40° D．30° C 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB的延长线于点F.求证：DE⊥AC. 证明：如图，连接OD，AD. ∵DE切⊙O于点D, ∴OD⊥DE. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点． 又∵O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，∴DE⊥AC. 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 5．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(－3，－2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ值最小时，P点的坐标为( ) A．(－4,0) B．(－2,0) C．(－4,0)或(－2,0) D．(－3,0) D 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. (1)求证：∠A＝∠ADE； (2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长． 解：(1)证明：如图，连接OD. ∵DE是切线，∴∠ODE＝90°， ∴∠ADE＋∠BDO＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO， ∴∠A＝∠ADE. 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 (2)如图，连接CD. ∵∠A＝∠ADE，∴AE＝DE. ∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°， ∴EC是⊙O的切线， ∴ED＝EC，∴AE＝EC. ∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20. 在Rt△ADC中，DC＝＝12. 设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122， 在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202， ∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9， ∴BC＝＝15. 专题八 | 圆中常见的辅助线[数学建模能力] 返回目录 3 2 1 4 5 6 7 8 9 10 7．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E.求证：OB与⊙D相切． 证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.