12.3 角的平分线的性质-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

12.3 角的平分线的性质 知识要点 1.角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 符号表述：∵∠AOD＝∠BOD，DE⊥AO，DF⊥BO ∴ DE＝DF 2.角平分线的判定定理 文字表述：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 符号表述：∵DE⊥AO，DF⊥BO，DE＝DF ∴∠AOD＝∠BOD 3.作已知角的角平分线 已知： ∠AOB (如图) 求作： ∠AOB的角平分线OC. 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 （3）作射线OC。射线OC即为所求。 4.三角形的角平分线的性质 （1）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心，且这一点到三角形三边的距离相等. （2）三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个. 如图所示：△ABC的内心为P1，旁心为P2,P3,P4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 例题精讲 知识点1： 角的平分线的性质和判定定理 【例1】角平分线上的点到这个角两边的距离相等 如图所示，下列推理中正确的个数是（　　） ①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD＝PE； ②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE； ③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD＝PE． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 【分析】根据角平分线性质定理，对①②③进行逐个验证，符合角平分线性质的是正确的，反之，是错误的． 【解析】解：①OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，没有注明PD⊥OA，PE⊥OB，不能用角平分线的性质，错误； ②P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，没有注明OC平分∠AOB，不能用角平分线的性质，错误； ③P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，符合角平分线性质定理的条件，所以PD＝PE成立，正确． 故选：B． 点评：本题考查了角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；做题时要严格按性质进行验证． 【举一反三】 如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【分析】利用平分线的判定分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得． 【解析】解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确． 故选：D． 点评：此题主要考查角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证． 【例2】角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　　） A、 三角形两边高线的交点处 B、三角形两边中线的交点处 C、∠α的平分线上 D、∠α和∠β的平分线的交点处 【分析】根据题意知，超市应该是△ABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点． 【解析】解：∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等， ∴该超市是△ABC的内心， ∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处． 故选：D． 点评：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【举一反三】 1.三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这个点一定是三角形的（　　） A、 三条高的交点 B、三条角平分线的交点 C、三边中线的交点 D、三边垂直平分线的交点 【分析】根据角平分线的判定可知，到三角形三边的距离相等的点是角平分线的交点． 【解析】解：在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是角平分线的交点． 故选：B． 点评：主要考查了角平分线的判定．本题注意不要与线段中垂线的性质或判定混淆，三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等． ☆2.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A、1处 B、2处 C、3处 D、4处 【分析】到三条相互交叉的