专题3 导数解决不等式的恒成立和证明-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第三章 导数 专题3 导数解决不等式的恒成立和证明 【三年高考精选】 1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，， 故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立. 综上所述，. 2.（2020年高考全国Ⅰ卷文数20）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）． 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图像的走向，从而求得结果． 【解析】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， ∴的减区间为，增区间为． （2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解． 令，则有， 令，解得，令，解得或， ∴函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，∴当有两个解时，有，∴满足条件的的取值范围是：． 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 函数的单调性，不等式证明 逻辑推理 准确掌握求导公式，函数的单调性的性质 【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】 函数的单调性，零点 逻辑推理，直观想象 准确掌握求导公式，函数的零点的性质 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题,导数的运用是每年高考考试的重点, 主要以考查函数的单调性、极值与最值，不等式恒成立以及不等式的证明，题型一般是选择题或填空题,占5分,解答题12分.常联系不等式的解集与不等关系，试题难度中等，解答题一般考查考查导数知识的综合运用，会涉及不等式恒成立、零点.也会考查分类讨论、数形结合等数学思想方法. 【2022年高考预测】 预测2022年高考仍是考查函数的单调性，根据不等式恒成立求参数的取值范围或不等式的证明.． 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式,在2022年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习,关于集合2022高考备考主要有以下几点建议: 1.涉及本单元知识点的高考题,综合性强.所以在复习中要熟记相关的定义，法则； 2.利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 3.将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理． 4.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法．数形结合思想，如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征，或求两曲线交点个数等；等价转化思想，如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等． 【2022年考点定位】 考点1 证明不等式 典例1 （安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检查）已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求证：. 【答案】（1）在单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由题可以求函数的导函数，则可得的单调区间； （2）由题知要证，即证，然后利用导函数判断函数的单调性，最后利用单调性证明即可. 【详解】 （1）因为， 所以， 令，解得， ∴当时，时， 所以在单调递增，在上单调递减； （2）要证 即证， 即， 设，即证. 因为 所以当时，恒成立，单调递增， 又当时，， 所以当时，，当时，； 所以当， 即当时，. 【规律方法技巧】利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. 2．证明不等式时的一些常见结论 (1)ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到； (2)ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到； (3)ln x<x<ex，x>0； (4)≤ln(x＋1)≤x，x>－1，等号当且仅当x＝0时取到