3 第1章追梦阶段测试卷(2)-【追梦之旅·铺路卷】2021-2022学年九年级上册数学（北师大版）

∴ CE=CF= 1. 在 Rt△CEF 中,利用勾股定理可得 EF = EC2 +FC2 = 2 . (2)连接 CG,因为△CEF 是等腰直角三角形,G 为 EF 中 点,∴ CG=FG,∠ECG= 45°. ∴ ∠BCG = ∠DFG = 45°. 又∵ DF=BC,∴ △BCG≌△DFG(SAS) . ∴ DG=BG. 22. ( 1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ AD∥BC, ∠DAB = ∠ABE= 90°, ∴ ∠DAE = ∠AEB. ∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAE= ∠DAE = 45°, ∴ ∠BAE = ∠AEB = 45°, ∴ AB = EB. ∵ DF⊥AE,∴ ∠ABE = ∠AFD = 90°. ∵ AE = AD,∴ △ABE≌△AFD(AAS),∴ AB=AF. (2)①证明:∵ AE=AD,∠EAD = 45°,∴ ∠AED = ∠ADE = 67. 5°,∴ ∠FDG = 22. 5°. ∵ AB = AF, ∠BAF = 45°, ∴ ∠AFB= 67. 5°,∴ ∠EFG = 67. 5°,∴ ∠EFG = ∠AED, ∴ FG=EG,∠DFG = 22. 5°,∴ ∠DFG = ∠FDG,∴ FG = DG,∴ EG=DG. ②解:∵ EG= 1,∴ ED= 2,设 AB = x,则 AE = 2 x,DF = AF = x,∴ EF= 2 x-x,∴ ( 2 x-x) 2 +x2 = 22 ,解得 x2 = 2+ 2 ,∴ 矩形 ABCD 的面积= 2× 1 2 ×AE×DF = 2 x2 = 2 ×(2+ 2 )= 2 2 +2. 23. 解: ( 1) ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE = ∠BCE. ∵ MN∥BC, ∴ ∠OEC= ∠ECB,∴ ∠OEC= ∠OCE,∴ OE =OC,同 理 OC=OF,∴ OE=OF. (2)当点 O 运动到 AC 中点处时,四边形 AECF 是矩形. ∵ AO=CO,EO=FO,∴ 四边形 AECF 为平行四边形. ∵ CE 平 分 ∠ACB, ∴ ∠ACE = 1 2 ∠ACB, 同 理, ∠ACF= 1 2 ∠ACG,∴ ∠ECF = ∠ACE+ ∠ACF = 1 2 (∠ACB+∠ACG)= 1 2 × 180° = 90°,∴ 四边形 AECF 是矩形. (3)△ABC 是直角三角形. 证明:∵ 四边形 AECF 是正方 形,∴ AC⊥EN,故∠AOM= 90°. ∵ MN∥BC,∴ ∠BCA = ∠AOM= 90°. ∴ △ABC 是直角三角形. 第一章追梦阶段测试卷(二) 一、1. B 2. D　 【解析】∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线,∴ ∠CAB = ∠ACB = 45°. ∵ AC=AE,∴ ∠ACE= ∠AEC= 67. 5°,∴ ∠BCE = ∠ACE -∠ACB= 67. 5°-45° = 22. 5°. 故选 D. 3. B　 4. B　 5. A 6. B　 【解析】设正方形 D′C′O′E′是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移 后的正方形. ∵ 顶点 A,B 的坐标分别为(-2,6)和(7,0),设直线 AB 解析式为 y=kx+b,代入可得 y = - 2x 3 + 14 3 ,∴ 当点 E 落在 AB 边上时,点 E 的坐标为(4,2),此时点 D 坐标为(2,2).故选 B. 7. B 　 【解析】 连 接 EG. ∵ EG 是 正 方 形 EFGH 的 对 角 线, ∴ ∠GEH= 45°. ∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线,∴ ∠ACB = 45°,∴ ∠GEH= ∠ACB,∴ AC∥EG. ∵ 正方形 ABCD 的面积是 8cm2,∴ S△ABC = 4,∴ △AEC 的面积为 4+ 1. 1 = 5. 1cm2 . 由于 △ACG 和△AEC 是同底等高,面积相等,∴ △ACG 的面积为 5. 1cm2 . 故选 B. 8. A　 【解析】如图所示,设正方形 EFGH 的边长 为 a. ∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线,∴ ∠CAD =∠ACB=45°. ∵ 四边形 EFGH 是正方形,∴ EF =EH = a,∠AEF = 90°,∴ ∠AFE = 45° = ∠EAF, ∴ AE=EF=a. 同理 CH=a,∴ AC = 3a,设正方形 BMNP 的边长为 b. ∵ 四边形 BMNP 是正方形, ∴ BM=MN,∠CMN=90°,∴ ∠MNC=45°=∠MCN,∴ CM=MN=b, 根据勾股定理得,CN= 2 b,同理 AN= 2 b,∴ AC = 2 2 b,∴ 3a = 2 2b,∴ a b = 2 2 3 ,∴ S1 S2 =