11.2 与三角形有关的角-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

11.2 与三角形有关的角 知识要点 1. 三角形的内角 三角形的内角和为180°。 如图：∠A+∠B+∠C=180° 2. 直角三角形 （1）直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 在Rt△ABC中，∠A+∠B=90° 或 ∠A=90-∠B 或 ∠B=90-∠A （3） 两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ∵△ABC中，∠A+∠B=90° ∴△ABC是直角三角形 3. 三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. （2） 性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 如图：∠ACD=∠A+∠B ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 如图：∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B ③三角形的外角和为360° 例题精讲 知识点1：三角形的内角 【例1】等腰三角形中 等腰三角形出现内角，需要考虑内角是顶角还是底角，注意分类讨论。 1.在等腰三角形中，有一个内角为100度，则另外两个内角的大小分别是 【分析】先确定100°的内角是顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解析】解：根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角， 所以，两个底角为（180°−100°）÷2＝40°， 即另外两个内角分别等于40°，40°． 故答案为40，40． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，判断出100°的内角是顶角是解题的关键 2.在等腰三角形中，有一个内角为40度，则另外两个内角的大小分别是 【分析】根据顶角为40°，底角为40°两种情况，利用三角形内角和定理即可直接得出答案． 【解析】解；当顶角为40°时，其底角为（180°−40°）÷2＝70° 当底角为40°时，则顶角为180°−40°×2＝100°， 所以有两种情况：当顶角为40°时，它的另外两个内角分别是70°，70°； 当底角为40°时，它的另外两个内角分别是40°，100°． 故答案为70°，70°或40°，100°． 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题的关键是学生熟练掌握三角形内角和定理． 【举一反三】 1.在等腰三角形中，有一个外角为100度，则另外两个内角的大小分别是 【分析】根据外角为100°，推出内角为80°。顶角为80°，底角为80°两种情况，利用三角形内角和定理即可直接得出答案． 【解析】解：当80°是顶角时： 两个底角为（180°−80°）÷2＝50° 当80°是底角时： 顶角为180°−80°×2＝20° 故答案为50°，50°或80°，20°． 2.在等腰三角形中，有一个内角为30度，则另外两个内角的大小分别是 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，知道一个内角是30°，当它是顶角时，另两个内角是（180°−30°）÷2＝75°，当它是底角时，180°−30°×2＝120°另两个角分别是30°和120°，据此解答即可． 【解析】解：当30°是顶角时： （180°−30°）÷2＝75° 当30°是底角时： 180°−30°×2＝120° 答：当它是顶角是30°时，另两个内角是75°，当它是底角是30°时，另两个角分别是30°和120°。 【例2】在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数。 【分析】设∠A＝x°，则∠B＝20°＋x°，∠C＝x°＋20°−10°，依据三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解析】解：设∠A＝x°，则∠B＝20°＋x°，∠C＝x°＋20°−10°＝x°＋10°， ∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴x°＋20°＋x°＋x°＋10°＝180°， 解得x＝50°， 即∠A＝50°． 点评：本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会构建方程解决问题． 【举一反三】 已知：△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A−20°，求∠A的度数． 【分析】设∠A＝x度，则∠B＝2x度，∠C＝x−20°，构建方程即可解决问题． 【解析】解：设∠A＝x度，则∠B＝2x度，∠C＝x−20° 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° ∴x＋2x＋x−20＝180° ∴x＝50° 即∠A＝50° 【例3】如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是高，BE是∠ABC的平分线，AD、BE交于点F，求∠BEC的度数。 【分析】根据三