11.1 第2课时 三角形的高、中线、角平分线与三角形的稳定性-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

11.1 与三角形有关的线段 第2课时 三角形的高、中线、角平分线与三角形的稳定性 知识要点 1.三角形的高 　　在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 如图，线段AD垂直BC，垂足为D， 我们把线段AD叫做△ABC中BC边上的高． 注意： 1．三角形的高是线段，是连接三角形的顶点和相应垂足的一条线段。 2．不要忘记标上垂足和垂直符号． 三角形的高线共有3条． （1）锐角三角形的3条高交于三角形内一点,称为三角形的垂心。 （2）直角三角形的3条高交于直角顶点． （3）钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． 2.三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 （1）三角形的中线共有3条． （2）三角形的3条中线相交于三角形内部一点（称为重心）． （3）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两部分． 3.三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。 注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段． （1）三角形的角平分线共有三条. （2）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，称为三角形的内心。 4.三角形的稳定性 三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性 例题精讲 知识点1：三角形的高 如图，AD是ΔABC的高， 或 AD是ΔABC的BC边上的高， 或 AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。 AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D) 【例1】在图中分别画出三角形BC边上的高． 【例2】1.画△ABC的边BC上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在中作边上的高，下列画法正确的是（ ） A． B． C． D． 【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，AD、BE相交于点F，连接CF. (1)在△ABC中，AC边上的高为 ，BC边上的高为 ； (2)在△ABD中，AD边上的高为 ； (3)在△BCE中，CE边上的高为 ； (4)在△BCF中，BC边上的高为 ； (5)在△ABF中，AF边上的高为 ，BF边上的高为 . 【举一反三】 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( ) A．在△ABC中，AC是BC边上的高 B．在△BCD中，DE是BC边上的高 C．在△ABE中，DE是BE边上的高 D．在△ACD中，AD是CD边上的高 【例4】如图，在中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 个． 　　 【举一反三】 如图，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H，图中以AH为高的三角形的个数为 个． ☆【例5】如图，在△ABC中，AB=10，AC=15，BD、CE分别是△ABC的高，且BD=8，求CE的长。 【举一反三】 如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD相交于点E，则△ADE的边DE上高是 ； 边AE上的高为 ；若AE＝5，ED＝2，CD＝，则AB＝ 。 ☆【例6】如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______． 【举一反三】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CD的长为（　　） ☆☆☆【例7】如图，△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，CD⊥AB，垂足为D， （1）求△ABC的面积和CD的长； （2）若点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿边AB−BC运动，点P运动到C点停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，△PAC的面积为6cm2？ 知识点2：三角形的中线 如图，AD是ΔABC的中线， 或 AD是ΔABC的BC边上的中线， D为BC的中点 三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两部分． 【例1】如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线． (1)作出△ABD的边BD上的高； (2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积； (3)若