专题四 函数与导数-2021-2022学年高二数学新教材专题复习(苏教版2019)

专题复习四 函数与导数 【复习要点】 1．导数的运算及几何意义； 2．利用导数研究函数的图像、单调性、极值、最值等问题； 3. 利用导数研究函数的零点相关问题； 4. 利用导数证明不等式或求参数取值范围； 5. 利用导数解决实际应用问题. 【基础诊断】 1.下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 运用导数运算公式即可判断。 【详解】 A项，错误 B项错误 C项错误 D项正确， 故选D 2.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 设出切点坐标，利用导数的几何意义求得的值，进而得到切点坐标，代入切线方程求得b的值. 【详解】 设切点为，又，所以切点为(代入直线方程得b=1， 故选：A. 3.函数y=在[-2，2]上的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD. 【详解】 , 当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A; ,故排除CD, 故选：B 4.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到,对于上恒成立，利用正弦函数的性质得到的取值范围. 【详解】 解：由已知得，即,对于上恒成立， ∴， 故选：D. 5.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，，利用导数研究其单调性，进而得到结论． 【详解】 解：设，，则， 在区间上单调递减， ，∴g(b)<g(a),即， 故选：B． 6.函数，则有两个不相等的零点，则k的取值范（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先将问题等价转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用数形结合思想求得的取值范围. 【详解】 当直线与函数的图象相切时，设切点为,因为, 所以, 可得, 函数有两个不相等的零点等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由图形可知，当且仅当时有两个不相等的零点， 故选：. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点问题，若分离变量求解，则对于函数的图象的刻画需要用到极限的理论，较为复杂，比较简洁的方法就是如解析中所示，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用数形结合思想求得的取值范围.这种思想方法，在解决选择填空题时是应当优先采用的方法. 7（多选）设函数，则下列说法正确的是 A．定义域是（0，+） B．x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点 【答案】BC 【解析】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确； 由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确； 所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的； 由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；故选BC． 8（多选）设函数，，给定下列结论，其中是正确的是（ ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，恒成立，则 D．若函数有两个极值点，则实数 【答案】ACD 【分析】 求出，从而可得，求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】 因为函数，定义域， 所以， 则，， 对于A，，即， ，即，故A正确； 对于B，， 当时，，单调递增，故B错误； 对于C，若时，总有恒成立， 则，在上恒成立， 令，， 只需在上单调递增，即在上恒成立， 即 由A选项得：，在上单调递增，在单调递减， 故，故成立，故C对. 对于D，函数有两个极值点， 即有两个变号零点， 分离参数得：，令， 故的图像有两个交点 由A选项得：，在上单调递增，在单调递减， ，，故，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题. 9.函数在的最大值为________. 【答案】 【分析】 利用导数得到函数单调性，即可求解. 【详解】 解：, 当时，，原函数单调递增， 当时，，原函数单调递减， 所以， 故答案为：. 10.已知函数满足：，，且.若角满足不等式，则的取值范围是 【答案】 【分析】 构造新函数，由可得为单调减函数，由可得为奇函数，从而解得的取值范围. 【详解】 解：令 因为， 所以为R上的单调减函数， 又因为， 所以， 即，即， 所以函数为