第26章 二次函数（压轴题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

第26章 二次函数压轴题专练 一、填空题 1．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线 的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线．点P（2017，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，=_______． 【答案】15 【详解】解：∵y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6， ∴当x=0时，y=2， ∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，6）， ∵点B（2，6）在y=的图象上， ∴k=12， ∵点C在y=的图象上，点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标是2， ∴点C的坐标为（6，2）， ∵2017÷6=336…1， ∴P（2017，m）在抛物线y=-x2+4x+2的图象上， m=-12+4×1+2=5， ∵2020÷6=336…4， ∴点Q（2020，n）在反比例函数y=上， ∴n==3， ∴mn=5×3=15， 故答案为15． 2．（2018·上海普陀·）二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 【答案】m>1 【详解】由条件可知二次函数对称轴为x=2m，且开口向上，由二次函数的性质可知在对称轴的左侧时y随x的增大而减小，可求得m+1＜2m，即m＞1． 故答案为m＞1． 点睛：本题主要考查二次函数的性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小是解题的关键． 3．（2021·上海）已知函数，． 设，，表示p，q中的较大值，表示p，q中的较小值，记得最小值A，得最大值为B，则A－B＝________． 【答案】-16 【详解】因为=， =． 所以当x=a+2时，f(x)=g(x)=-4a-4；当x=a-2时，f(x)=g(x)=-4a+12， 而gmax=g(a-2)=-4a+12，所以H2(x)≤g(x)≤gmax，又fmin=f(a+2)=-4a-4，所以H1(x)≥f(x)≥fmin，所以A=-4a-4，B=-4a+12，则A-B=-16，故答案为-16. 4．（2016·上海中考模拟）不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b为整数，若对任意x≤0，都有成立，则a＋b＝________． 【答案】-1 【分析】若对任意y≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0成立，则y1=ax+2应为增函数，y2=x2+2b的图象顶点应在x轴下方，且函数与x轴负半轴交于同一点，结合a，b为整数，可得答案． 【详解】观察图象可知：然a≠0，由于x的负半轴上ax+2与x2+2b不同号⇒ax+2与x2+2b在x负半轴上交点相同，推出-=-， ∵a，b为整数， ∴a=1，b=-2， ∴a+b=-1． 故答案为-1． 5．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为_____时，△PAB的面积最小． 【答案】（-1，2） 【分析】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可． 【详解】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小， 若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点， 设平移后的直线为y=-x-2+b， ∵直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切， ∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0， 则△=4-4（4-b）=0， ∴b=3， ∴平移后的直线为y=-x+1， 解得x=-1，y=2， ∴P点坐标为（-1，2）， 故答案为（-1，2）． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键． 6．（2021·上海九年级专题练习）若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________． 【答案】 【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论． 【详解】解：①当a=2时，原函数解析式为 y=-3x+8 此时b=8≠0 故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点 ②当a≠2时，原函数为二次函数 故该函数一定与y轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a) 当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为 方程的判别式△=25＞0 故此时函数图象与x轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点 当该交点不是原点时，a≠0 因为该函数图象与坐标轴有两个交点 所以该函数与x轴有且仅有一