第25章 锐角的三角比（压轴题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

第25章 锐角的三角比压轴题专练 一、单选题 1．（2019·上海九年级单元测试）因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C． 2．（2018·上海奉贤·中考模拟）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cos∠BCD=，可得BC=. 故选B． 点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 二、填空题 3．（2019·上海市民办新竹园中学九年级月考）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， 如图所示，则=______. 【答案】. 【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值． 【详解】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示． 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC， ∴∠α=30°． 同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α． 又∵∠AEC=60°， ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°． 设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a， ∴， ∴cos（α+β）=． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 4．（2019·上海九年级月考）如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=6，点E是BC边的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF，则sin∠ECF的值为___. 【答案】. 【分析】先求得BE的长，然后依据勾股定理可求得AE的长，然后证明EF=EC，从而得到∠EFC=∠FCE，由翻折的性质可知∠BEA=∠FEA，依据三角形的外角的性质可证明∠AEB=∠FCE，最后依据三角函数的定义求解即可． 【详解】∵点E为BC的中点，∴BE=EC=3. 在△ABE中,由勾股定理得：AE= =5 由翻折的性质可知：FE=BE，∠BEA=∠FEA，∴FE=EC. ∴∠EFC=∠FCE. ∵∠CFE+∠FCE=∠BEA+∠AEF， ∴2∠ECF=2∠BEA.∴∠ECF=∠BEA. ∴sin∠ECF=sin∠BEA=. 故答案为： 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于利用勾股定理进行运算 5．（2019·上海浦东新·）若点是等边三角形的重心，且，则等边三角形的边长为__________． 【答案】2 【分析】如图，连接AG并延长，交BC与D，根据重心的定义和性质可得AD为BC边中线，AG=2GD，由可得AD的长，由等边三角形的性质可得∠B=60°，AD⊥BC，利用∠B的正弦值求出AB的长即可得答案. 【详解】如图，连接AG并延长，交BC与D， ∵点G是等边三角形ABC的重心， ∴AD为BC边中线，AG=2GD，∠B=60°， ∴AD⊥BC， ∵， ∴DG=， ∴AD=AG+DG=， ∴sin∠B=sin60°==，即， 解得：AB=2，即等边三角形的边长为2， 故答案为：2 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形重心的性质及特殊角的三角函数值，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍；熟练掌握重心的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键. 6．（2020·上海九年级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边AC、BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝2BC，则的值为____. 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，是的中垂线，根据互余角，易证；如图（见解析），分别在中，利用他们的正切函数值即可求解. 【详解】如图，设DE、CF的交点为O 由折叠可知，是的中垂线 ， 又 设 . 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、直角三角形中的正切函数，巧妙利用三个角的正切函数值相等是解题关键. 7．（2018·上海黄浦区·格致中学九年级月考）如图，在中，为边上的中