10.5 异面直线间的距离“四基”测试题-2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册

《第 10 章 空间直线与平面》【*10.5 异面直线间的距离】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、 、 为异面直线， 为 、 的公垂线， ， 与 、 的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 【答案】D； 【考点】定理与异面直线的公垂线的定义； 2、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则 A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 【答案】B； 【解析】对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A．对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确； 【考点】定理与异面直线的公垂线的定义；与线、面平行、垂直进行了整合； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、已知正方体 的棱长为 ，异面直线 与 的距离为__________. 【提示】根据线面垂直性质可得 ，又 ，可知所求距离为 ，从而得到结果. 【答案】 【解析】 平面 ， 平面 又 异面直线 与 之间距离为 故答案为 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法； 4、已知长方体 的棱 、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线 和 的距离是______cm. 【提示】画出正方体的图形，直接找出异面直线 和 之间的距离即可； 【答案】4 【详解】由题意画出长方体 ，如图： 由图形可知：异面直线 与 之间的距离是： ， 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法； 5、若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面 内， A在平面 内的射影为O，AO=2， 则异面直线AO与BC之间的距离为___________． 【提示】连接 ，通过证明 和 可知 ， 即为异面直线 与 之间的距离，利用勾股定理可求得结果； 【答案】2 【解析】连接 ， ， ， ， ， 又 ， 平面 ，又 平面 ， 即为异面直线 与 之间的距离： 又 所以，答案为： 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； 6、设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是___________；点P到BC的距离是___________. 【提示】作AD⊥BC于点D，连接PD，根据PA⊥面ABC，易得AD是PA与BC的公垂线， 平面PAD求解； 【答案】 ； ； 【解析】如图所示：作AD⊥BC于点D， 因为PA⊥面ABC，所以PA⊥AD， 所以AD是PA与BC的公垂线； 因为PB､PC分别与α成45°和30°角，PA=2， 所以AB=2，AC=2 ，BC=4，AD= ， 连接PD，由 则 平面PAD，则PD⊥BC， 所以点P到BC的距离PD= . 故答案为： ， ； 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查求异面直线之间的距离又一方法：结合三垂线定理找异面直线之间的距离； 7、 为 所在平面外一点， 为 中点，且 ， ， ， （ ）；则异面直线 、 的距离为 。 【解析】如图， 为 中点连 ， 为 、 公垂线，所以， 、 距离为 ； 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法； 8、已知点 在三角形 外， 为等腰直角三角形， ， ， 且 ，则异面直线 与 的距离为_____________ 【提示】画出空间几何体，取 中点M，先根据余弦定理求得 ；连接 ，作 交 于N，则 即为异面直线 与 的距离； 【答案】 【解析】根据题意， 取 中点M， 连接 ， 作 交 于N，空间几何图形如下图所示: ， ，所以 因为 为 中点，所以 ，且 则 平面 ， 所以 且 ，设 因为 所以由余弦定理可得 代入可解得 在 中，可得 在 中，由余弦定理可得 代入可得 所以 而 ，所以 即为异面直线 与 的距离 则 ，故答案为: ； 【考点】异面直线之间的距离的定义；同时考查直线之间的距离的求解的基本方法——直接法；通过本题体验求异面直线的公垂线的步骤：找、证、求、答，综合性较强； 三、解答题（第9题12分，第10题16分） 9、已知线段 平面 ， 为垂足， ， 且 与平面 成30°角， ． 求：（1）异面直线 与 间的距离； （2） 、 两点间的距离． 【提示】（1）由题可知 是异面直线 与 的公垂线段，即得出；