10.3.4 三垂线定理“四基”测试题-2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册

《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.4 三垂线定理】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【答案】C； 【解析】因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MA； 又M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交； 【考点】三垂线定理与异面直线判定定理； 2、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α， C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】PB⊥α且PC⊥AC，所以AC⊥BC； 【考点】三垂线定理； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线有 【答案】有无数多条； 【考点】三垂线定理；与异面直线所成角的定义简单交汇； 4、已知△ABC所在平面外一点P； （1）若点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的______________； （2）若PA、PB、PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的_____________； （填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”） 【答案】（1）外心；（2）垂心； 【解析】（1）P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心；（2）由线面垂直与三垂线定理，得三条高交于一点，垂心； 【考点】三垂线定理；与平面几何中“四心”的简单交汇； 5、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上不同于A，B的一动点； 则△PBC是 三角形； 【答案】直角； 【解析】因为，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以，BC⊥AC， 又因为，PA⊥平面ABC，AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以，BC⊥PC， 所以，△BPC是直角三角形． 【考点】三垂线定理；主要是：要熟悉三垂线定理中“垂线、斜线与射影、平面内直线”构成的基本图形； 6、PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长 等于 【答案】 ； 【解析】∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心． 又△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点． 在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴ ； 【考点】三垂线定理；与解直角三角形的简单交汇； 7、如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 则图中直角三角形的个数为 【提示】由在 中， ， 为 所在平面外一点， 平面 （垂线），AC是斜线PC在平面ABC的射影； 能推导出 平面 ．由此能求出空间四边形 围成的几何体 中有多少个直角三角形； 【答案】4； 【解析】在 中， ， 为 所在平面外一点， 平面 ， ， ，得 ； 直角三角形有 ， ， ， ；4个； 【考点】三垂线定理；与直线与平面垂直的性质的应用的简单交汇；解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用； 8、已知斜线 与平面 所成的角为 ，在平面 内任意作 的异面直线 ，则 与 成的角 有最小值 ，最大值 【提示】根据线面角的定义，可求 与 成的角有最小值，根据异面直线所成角的范围，可求 与 成的角有最大值，即可； 【答案】有最小值 ，最大值 ； 【解析】因为斜线 与平面 所成的角为 是直线 与平面 内任意一条直线所成角中的最小值， 则 与 成的角有最小值 . 又因为异面直线所成角的范围为 ，所以 与 成的角有最大值 ； 【考点】三垂线定理；与线面角的定义以及两条异面直线所成角的范围的简单交汇； 三、解答题（第9题12分，第10题16分） 9、已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，试判断平行四边形ABCD的形状； 【解析】由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD； 又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC， PA⊂平面PAC，PC∩PA=P，所以BD⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC， 又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形； 【考点】三垂线定理； 10、等腰直角三角形 的斜边 在平面 内，若 与 所成的角为 ，求：斜边上的中线 与 所成的角的大小； 【提示】设 在平面 内的射影