10.3.2 直线与平面垂直“四基”测试题-2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册

《第 10 章 空间直线与平面》【10.3.2 直线与平面垂直】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、能够证明直线l与平面α垂直的条件是（ ） ①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n； A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥ 【提示】利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决； 【答案】C； 【解析】前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确，①③错误；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时，直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α； 【考点】线面垂直的定义与判定定理； 2、空间四边形的四边相等，那么它的对角线（ ） A．相交且垂直 B．不相交也不垂直 C．相交不垂直 D．不相交但垂直 【答案】D； 【解析】如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α， 从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾， 所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC， 因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC， 故AC⊥BD； 【考点】线面垂直的判定定理；同时本题与平面几何中等腰三角形“底边上的中线、高、角平分线三线合一，反证法进行了交汇； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、下列命题中，正确的序号是 ①如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°； ②若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a； ③若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α； 【答案】②； 【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；直线与平面所成的角； 4、下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直． 【答案】③④； 【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确； 【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论； 5、在正方体ABCD­A1B1C1D1中， （1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________； （2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； （3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________． 【答案】（1）45°；（2）30°；（3）90°； 【解析】（1）由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°. （2）连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1， 所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB， 所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO， 因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°. （3）因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1， 所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°； 【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论；直线与平面所成的角； 6、如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC， 则△ABC的形状为 【答案】直角三角形； 【解析】由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC， 又AC⊥PC，PC∩PB＝P， 所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC； 7、如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC， 则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： （1）与PC垂直的直线有__________________； （2）与AP垂直的直线有__________________． 【答案】（1）AB，AC，BC；（2）BC； 【解析】（1）因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. （2）∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC， AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP； 【考点】线面垂直的判定、性质定理及其推论； 8、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________． 【答案】4； 【解析】如