10.2.3 两条异面直线所成的角“四基”测试题-2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册

《第 10 章 空间直线与平面》【10.2.3 两条异面直线所成的角】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A； 【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B1∥DB，所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角， 因为AB=BC=1，AA1= ，所以DB= ，BC1=2，DC1=2， 由余弦定理得 ； 所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 ； 【考点】两条异面直线所成的角的定义与求法；与解三角形知识进行了交汇； 2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是( ) A. B. C. D. 【提示】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法；可以考虑利用补形法，在右面补一个正方体，平移相交，构造三角形根据余弦定理求解即可； 【答案】D 【解析】由题意，在右面补一个正方体， 如图：因为AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP， 可得：CP//B1MB1M 或其补角是异面直线，所以，∠NCP与CN所成的角; 连接NP，设正方体ABCD-A1B1C1D1 的边长为a, 可得：CN=CP= a， NP= a, 又因为。三角形NCP 的三条边满足：，所以∠NCP= ； 即异面直线B1M 与CN所成的角是 ；故选D； 【考点】两条异面直线所成的角的定义与求法；与解三角形知识进行了交汇，说明了“拼接法”求两条异面直线所成的角的方法； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________. 【答案】 ； 【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以a与OB所成的角为 【考点】两条异面直线所成的角的定义与等角定理；注意：异面直线所成的角的 或 ； 4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中， 异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________； 异面直线AD′与BC所成的角的大小为________。 【答案】90°，45°； 【解析】∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°. 【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法； 5、空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________. 【答案】30°； 【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH=90°，HE=2HF，从而∠FEH=30°. 【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法规范作图是前提； 6、已知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F分别为棱BC和棱CC1的中点， 则异面直线AC和EF所成的角的大小是 . 【答案】60°； 【解析】连接BC1，A1C1，A1B，如图所示: 根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1， 则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角)；因为BC1=A1C1=A1B，所以△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B=60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°； 【考点】两条异面直线所成的角的定义；平移法规范作图是前提； 7、下列命题正确的命题的序号是 ①. 两条异面直线一定在两个不同的平面内； ②. 两条异面直线成120°角； ③. 异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同； ④. 两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直； 【答案】选①④ 【解析】对于①由异面直线的概念可以判断，这种说法正确； 对于②异面直线所成的角范围是 ； 对于③异面直线所成的角的大小与O点的位置无关； 对于④当两条异面直线所成的角为90°时，两条直线垂直但不相交.相交时，不一定垂直； 故选①④； 【考点】两条异面直线所成的角的定义、找法、求法与取值范围； 8、如图，在空间四边形（注：空间四边形是指四个点不同在任何一个平面）ABCD中， E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°， 则BD与AC所成的角的大小为________． 【答案】60°； 【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥