专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题08 与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆 题型一 与圆有关的定点问题 1．已知直角坐标系中，圆． ①过点作圆的切线，求的方程； ②直线与圆交于点，两点，已知，若轴平分，证明：不论取何值，直线与轴的交点为定点，并求出此定点坐标． 2．已知圆过点，圆心在直线上． （1）求圆的一般方程． （2）若不过原点的直线与圆交于，两点，且，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由． 3．已知直线，半径为3的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右下方． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为、． （1）求四边形面积的最小值及此时点的坐标； （2）直线是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 5．已知圆和直线． （1）若直线与圆相交，求的取值范围； （2）若，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线、，切点分别是、，证明：直线恒过一个定点． 6．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，． （1）当切线的长度为时，求点的坐标； （2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知圆经过两点，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，点在直线上，，以线段为直径的圆为圆心）与直线相交于另一个点，． （1）求圆的标准方程； （2）若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 9．已知三点、、在圆上．为直线上的动点，与圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交所得弦长为，求点的坐标； （3）证明：直线过定点． 10．已知关于直线对称，且圆心在轴上． （1）求的标准方程； （2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为，． ①记四边形的面积为，求的最小值； ②证明直线恒过定点． 11．已知圆与直线相离，是直线上任意一点，过作圆的两条切线，切点为，． （1）若，求； （2）当点到圆的距离最小值为时，证明：直线过定点． 12．已知圆，圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若与轴不垂直的直线交于，两点，交于，两点，且，求证：直线过定点． 13．已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，问在直线上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为5，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）设点，过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，．求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 题型二 阿波罗尼斯圆 15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为，则点的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点，点为圆上的点，若存在轴上的定点，和常数，对满足已知条件的点均有，则　　 A．1 B． C． D． 17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　　，　　． 18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则　　，面积的最大值为　　． 19．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹