重点题型训练2-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N2 第一章 空间向量与立体几何 考试范围：1.4空间向量的应用；考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、利用空间向量讨论平行关系和垂直关系 1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF的长 （2）证明：EF∥平面AA1D1D； （3）证明：EF⊥平面A1CD． 2．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB． （Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC； （Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论． 3．如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD． 4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点． （1）证明：A1B∥平面ADC1； （2）证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C． 5．如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使面A1B1P⊥面C1DE． 题型2、利用空间向量求线面夹角问题 1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M为BC的中点，求PC与平面POM所成的角的正弦值． 2．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，AM⊥A1M． （Ⅰ）证明：AM⊥D1M； （Ⅱ）若M是BB1的中点，求直线DIM与平面ADM所成角的正弦值． 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB，AB∥DC，． （1）若AB⊥PD，求的值； （2）若△PAB为边长为2的正三角形，BC＝2，PD与平面PBC所成角的正弦值为，CD的长． 4．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA； （Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1； （Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小． 5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 题型3、利用空间向量求二面角 1．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，∠ADC＝120°，BD平分∠ADC，DC＝PD＝2AB＝2AD． （1）证明：BC⊥PB； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2DC＝，E、F分别为PD、PB的中点． （1）求证：CF∥平面PAD； （2）若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为，求PA的长度． 3．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． （1）证明：EF⊥BC； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值； （3）求平面AA1C与平面A1CB夹角的正弦值． 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． 题型4、利用空间向量求解点到平面的距离问题 1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点． （Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若AB＝2AA1＝4． ①求直线AC与平面ADC1所成角的正弦值； ②求点A1到平面ADC1的距离． 2．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体． （1）求证：平面AEC⊥平